Явные координатные представления

В заключение данной главы мы выпишем явные координатные представления для и Для этого мы введем конкретные координаты на поверхности 9? и выберем подходящим образом спиновую систему отсчета в каждой ее точке, воспользовавшись масштабным произволом в модифицированном формализме спиновых коэффициентов. Удобно согласовать оба выбора, фиксируя координаты на так, чтобы они были канонически связаны со спиновой системой отсчета . Если предположить, что система отсчета отвечает выбору декартовых

координат в пространстве Минковского М (см. гл. 1 и 3), а начало координат (0, 0, 0, 0) соврадает с центром О сферы то

Точка имеет координаты точка — координаты (-R, 0, 0 ,0); тогда определяется уравнением

Мы рассмотрим две разные координатные системы на сферическую систему , для которой

а метрика имеет вид

и комплексную систему , для которой [формула (1.2.8)]

где [формула (1.2.10)]

и для метрики получаем

Сначала рассмотрим комплексную систему координат. Как отмечалось выше (см. также гл. 1, § 2), есть антиголоморфная координата на 91 (со стандартной ориентацией); поэтому можно положить

где координата определена так, как в § 14. Тогда формула (4.14.31) дает . Векторы определены, как в формуле (4.14.36), требованием Сравнивая метрические формы (4.14.30) и (4.15.114), получаем

Рис. 4.6. Выбор спиновой системы отсчета и векторов т. для комплексных стереографических координат .

что после подстановки в (4.14.33) дает явное представление для операторов действующих на величину типа

Выбор векторов , ясен из рис. 4.6, откуда видно, что полотнище флага спинора [т. е. направление вектора ] расположено вдоль направления возрастает. Вспоминая подробные геометрические построения гл. 4 (для полотнищ флагов гл. 1, § 4, спинорные скалярные произведения и т. д.), из рис. 4.6 заключаем, что

(с точностью до произвольного общего знака), где действительный масштаб (т. е. длины векторов ) фиксирован выбором

Подставив это в (4.15.95) и (4.15.98), мы найдем как функции координат.

Наконец, рассмотрим сферическую систему координат, для которой справедливо соотношение

Рис. 4.7. Выбор спиновой системы отсчета и векторов для сферических координат .

Сравнив формулы (4.14.30) и (4.15.111) с учетом (4.14.36), так что после простых выкладок получим

Подставляя это в (4.14.33), получаем для типа

Выбор векторов проиллюстрирован на рис. 4.7, из которого следует, что полотнище флага спинора [т. е. направление вектора ] указывает вниз вдоль меридианов . С точностью до знака для мы теперь получаем

Вновь можно фиксировать длину векторов, , полагая как в (4.15.119). Подстановка в (4.15.95) и (4.15.98) позволяет явно вычислить в системе координат . В частном случае такие вычисления приводят к сферическим гармоникам Лежандра.