§ 6. Геометрическая интерпретация спинорных операций

Как мы уже видели, всякий изотропный флаг в векторном пространстве Минковского V задает пару спинорных объектов, а именно (ненулевые) спин-векторы Пользуясь координатной системой Минковского, припишем спин-вектору х две комплексные компоненты Напишем

Аналогично, если — некоторый другой спин-вектор, мы можем обозначить его компоненты через и т. д. Нас будут интересовать операции над спин-векторами, имеющие геометрический (и, следовательно, координатно-независимый) смысл. Однако мы видели в § 4, что произвольное пассивное преобразование Лоренца (т. е. изменение координатной системы Минковского) соотвествует некоторому спиновому преобразованию компонент Таким образом, операции над спин-векторами, будучи записаны как соотношения между компонентами, должны быть инвариантными относительно (пассивных) спиновых преобразований.

Пусть — спиновое пространство, т. е. пространство спин-векторов, а С, — поле комплексных чисел. Мы будем рассматривать следующие три основные операции на

(см. скан)

Представляя каждый спин-вектор его компонентами относительно некоторой заданной системы отсчета, определим эти три операции соответствующими формулами:

Первые две из этих формул, очевидно, инвариантны при спиновом преобразовании

ввиду его линейности. Инвариантность третьей формулы нетрудно установить:

поскольку

Следующие соотношения являются непосредственными следствиями определений (1.6.4) — (1.6.6):

Более того, из разложения Лапласа по последней строке определителя

вытекает равенство

Частным случаем (1.6.16) является соотношение

Рассматривая (1.6.8) — (1.6.15) как аксиомы (не являющиеся независимыми), мы приходим к выводу, что есть векторное пространство над С. В соответствии с (1.6.16) — (1.6.18) внутреннее произведение является кососимметричной билинейной формой на Соотношение (1.6.19) вместе с условием

означает, что рассматриваемое векторное пространство двумерно. Действительно, если х и удовлетворяют условию (1.6.21), то ни один из них не является кратным другому [в силу (1.6.20) и (1.6.17)], так что размерность векторного пространства не меньше двух; далее, (1.6.19) дает рецепт для представления произвольного спин-вектора в виде линейной комбинации двух спин-векторов

Используя определение внутреннего произведения, нетрудно получить общую формулу для спин-вектора, выраженного через его компоненты. Выберем произвольную пару спин-векторов (омикрон и йота), нормированных таким образом, что их внутреннее произведение равно единице:

Будем называть пару спиновой системой отсчета. Компоненты произвольного спин-вектора х в указанной спиновой системе отсчета таковы:

Таким образом, из (1.6.19), (1.6.22) и (1.6.16) получаем

Компоненты спин-вектора о равны , а компоненты спин-вектора равны . Если теперь исходить из выражений (1.6.24) и (1.6.22), то мы можем непосредственно вывести формулы (1.6.4) — (1.6.6) для умножения на скаляр, сложения и внутреннего произведения. Пассивное спиновое преобразование (1.6.7) реализуется в том случае, когда одна спиновая система отсчета заменяется другой спиновой системой отсчета Спиновая система отсчета, дающая представление спин-векторов компонентами в соответствии с § 2 и 4, следующим образом получается (рис. 1.17) из данной тетрады Минковского с формулами (1.2.15), (1.4.14)]: флагшток спин-вектора о равен а полотнище флага отходит от этой

Рис. 1.17. Стандартная связь между спиновой системой отсчета и (ограниченной) тетрадой Минковского

линии в направлении флагшток спин-вектора равен а полотнище флага отходит от этой линии в направлении относительные знаки спин-векторов определяются тем, что о переводится в непрерывным вращением в положительном направлении на угол вокруг оси у (и, следовательно, такое же вращение переводит в ).