§ 2. Изотропные направления и спиновые преобразования

В § 1 мы рассмотрели общепринятое представление мирового вектора через координаты Минковского. Проанализируем теперь другой способ представления мировых векторов с помощью координат. Мы получим, в частности, координатное описание светового конуса (т. е. множества изотропных векторов) в комплексных числах. Это приведет нас к понятию спин-вектора.

Чтобы избавиться от ненужных индексов, мы пишем Т, X, Y, Z вместо координат вектора относительно ограниченной тетрады Минковского :

Координаты изотропных векторов удовлетворяют условию

Зачастую мы будем рассматривать именно изотропные направления, исходящие, скажем, из начала отсчета О пространства-времени (Минковского). Заметим, что векторы будут считаться имеющими разные (а именно противоположные) направления. Абстрактное пространство, элементами которого являются изотропные направления будущего (прошлого), мы будем обозначать через Эти два пространства в произвольно заданной системе координат могут быть представлены пересечениями светового конуса (1.2.2) будущего (прошлого) с гиперплоскостями . В евклидовом -пространстве упомянутое пересечение представляет собой сферу, описываемую уравнением

Рис. 1.2. Абстрактная сфера естественным образом представляет небесную сферу наблюдателя, тогда как сечение или его проекция на даег более конкретную (хотя и несколько менее инвариантную) реализацию.

(рис. 1.2). Ясно, что направление любого вектора (1.2.1), проходящего через О (независимо от того, изотропный он или нет), если он не лежит в гиперплоскости может быть представлено точкой гиперплоскости или Направление вектора выходящего из начала отсчета, изображается на соответствующей гиперплоскости точкой Внутренняя часть сферы изображает множество времениподобных направлений прошлого, а внутренняя часть — множество времениподобных направлений будущего. Части гиперплоскостей вне этих сфер изображают пространственноподобные направления.

Остановимся на физическом истолковании пересечений Представим себе наблюдателя, расположенного в событии

О пространства-времени. Лучи света, проходящие через его глаз, соответствуют теперь изотропным прямым линиям, проходящим через О, а направления прошлого упомянутых линий образуют поле зрения наблюдателя. Это и есть пространство изображаемое сферой Фактически представляет собой точный геометрический образ того, что наблюдатель действительно «видит» при условии, что он неподвижен относитель но системы отсчета т. е. его мировая скорость есть . В самом деле, наблюдатель может считать себя постоянно находящимся в центре некой единичной сферы (его сферы зрения), на которую он отображает все, что видит в любой момент времени. Прямые, идущие из его глаза к этим точкам изображения на представляют собой проекции мировых линий

Рис. 1.3. Стереографическая проекция сферы на аргандову плоскость.

приходящих лучей на его мгновенное пространство Следовательно, эти изображения конгруэнтны с изображениями на (ср. рис. 1.2) и мы можем назвать У или небесной сферой точки О. Отображение изотропных направлений прошлого, выпущенных из О, в точки сферы мы будем называть небесным отображением. Поскольку всякий изотропный вектор указывающий в прошлое, единственным (и инвариантным) образом связан с некоторым изотропным вектором, указывающим в будущее (а именно, с вектором поле зрения наблюдателя представляется также сферой Это представление можно назвать антинебесным отображением. Соответствие между и — это просто соответствие т. е. диаметрально противоположное отображение при наложении одной сферы на другую. Такое отображение изменяет ориентацию сферы на противоположную: например, касательный вектор на сфере вращающийся по часовой стрелке, если смотреть из центра, вращается против часовой стрелки на сфере

Сферу можно естественным образом рассматривать как риманову сферу аргандовой плоскости (плоскости Арганда — Бесселя — Гаусса); эта сфера является хорошо известным представлением комплексных чисел, включающим бесконечность. Обычные свойства аргандовой плоскости и ее римановой сферы отражают многие геометрические свойства векторного пространства Минковского V. В частности, ограниченное преобразование Лоренца на V оказывается однозначно определяемым по результату своего воздействия на риманову сферу (и тем самым на изотропные направления). Более того, как мы увидим в § 4, спин-векторы допускают прямую геометрическую интерпретацию на римановой сфере.

Мы можем заменить координаты на одним комплексным числом, полученным на основе «стереографического» соответствия между сферой и плоскостью (рис. 1.3). Возьмем плоскость 2 с уравнением в евклидовом 3-пространстве и отобразим точки сферы на эту плоскость путем

проектирования из северного полюса Пусть соответственные точки на . Далее, обозначим через конечные точки перпендикуляров, опущенных из точки Р на и Помечая точки на одним комплексным параметром

имеем

где

Следовательно, параметр следующим образом выражается через координаты точки Р:

Чтобы получить обратное соотношение, исключим сначала х и у из (1.2.6) на основании (1.2.3):

Решая относительно и подставляя полученное выражение в (1.2.6), получаем

Алегебраические выражения (1.2.6) и (1.2.8) устанавливают стандартное стереографическое соответствие между аргандовок плоскостью и единичной сферой в -пространстве с центром в точке . Это соответствие одно - однозначно, если мы считаем одной «точкой», добавленной к аргандовой плоскости, и связываем эту точку с северным полюсом сферы. Таким образом, сфера дает стандартную реализацию аргандовой плоскости с добавленной точкой она пред ставляет собой риманову сферу .

Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация соотношения которое ставит в соответствие сферическим полярным координатам комплексную стереографическую координату . (Угол равен углу при южном полюсе, который стягивается отрезком поскольку оба эти угла дополнительна углу )

В качестве альтернативного выбора координат на мы можем применить обычные сферические полярные координаты, связанные с соотношениями

Выражение для в координатах находится путем подстановки (1.2.9) в (1.2.6):

Его можно также вывести, пользуясь рис. 1.4, на основании простой тригонометрии.

Формулы (1.2.6) — (1.2.8) и (1.2.10) применимы к антинебесному отображению

Нас будут интересовать также соответствующие формулы для небесного отображения, при котором всякое изотропное направление, выходящее из точки О, представляется типичным событием прошлого а не событием будущего Если потребовать, чтобы точка комплексной плоскости в обоих

случаях представляла одну и ту же изотропную прямую, то она должна соответствовать на сферах диаметрально противоположным точкам . Следовательно, искомые формулы получаются из (1.2.6) — (1.2.8) и (1.2.10) путем преобразования, переводящего точки на сфере в диаметрально им противоположные: , или, что эквивалентно, . В частности, выражение (1.2.10) приобретает вид

(Заметим, что действие преобразования, переводящего точки на сфере в диаметрально им противоположные, таково: — Приведенное выше соответствие между множеством изотропных направлений будущего (прошлого), исходящих из точки О, и комплексной плоскостью С могло бы быть получено более прямым путем, чем на основе стереографической проекции. Чтобы реализовать указанное прямое соответствие (рис. 1.5), разрежем пространство переменных изотропной гиперплоскостью П, уравнение которой имеет вид

а не пространствениоподобной гиперплоскостью Рассмотрим изотропную прямую, проходящую через точку О и пересекающую сферу в точке . Ясно, что эта прямая содержит точку

принадлежащую гиперплоскости П. Теперь координаты точки будут такими:

причем

как в (1.2.4), (1.2.6), и, следовательно, получается путем простого ортогонального проектирования П на . В исключительном случае изотропная прямая, проходящая через точку О, параллельна гиперплоскости П и, таким образом, не пересекает П ни в какой конечной точке.

Рис. 1.5 поясняет геометрическую связь между нашими двумя различными построениями. Пусть, как и раньше, — северный полюс сферы Далее, пусть — рассматриваемая прямая линия с и Обозначим через Р ортогональную проекцию точки на плоскость

Рис. 1.5. Стереографическая проекция и соответствия . («Параболическое» сечение конуса плоскостью П имеет ту же самую внутреннюю евклидову метрику, что и плоскость — аргандова плоскость координаты )

Тогда направление будет направлением т. е. тем же самым, что и направление Следовательно, точки компланарны, а точка Р лежит на определяемой ими плоскости, поскольку она принадлежит прямой Однако точки также лежат на гиперплоскости Следовательно, они коллинеарны, и поэтому точка является стереографической проекцией точки Р (из на с точкой в качестве полюса). Таким образом, искомая эквивалентность установлена геометрически.