Главная > Спиноры и пространство-время, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Изотропные направления и спиновые преобразования

В § 1 мы рассмотрели общепринятое представление мирового вектора через координаты Минковского. Проанализируем теперь другой способ представления мировых векторов с помощью координат. Мы получим, в частности, координатное описание светового конуса (т. е. множества изотропных векторов) в комплексных числах. Это приведет нас к понятию спин-вектора.

Чтобы избавиться от ненужных индексов, мы пишем Т, X, Y, Z вместо координат вектора относительно ограниченной тетрады Минковского :

Координаты изотропных векторов удовлетворяют условию

Зачастую мы будем рассматривать именно изотропные направления, исходящие, скажем, из начала отсчета О пространства-времени (Минковского). Заметим, что векторы будут считаться имеющими разные (а именно противоположные) направления. Абстрактное пространство, элементами которого являются изотропные направления будущего (прошлого), мы будем обозначать через Эти два пространства в произвольно заданной системе координат могут быть представлены пересечениями светового конуса (1.2.2) будущего (прошлого) с гиперплоскостями . В евклидовом -пространстве упомянутое пересечение представляет собой сферу, описываемую уравнением

Рис. 1.2. Абстрактная сфера естественным образом представляет небесную сферу наблюдателя, тогда как сечение или его проекция на даег более конкретную (хотя и несколько менее инвариантную) реализацию.

(рис. 1.2). Ясно, что направление любого вектора (1.2.1), проходящего через О (независимо от того, изотропный он или нет), если он не лежит в гиперплоскости может быть представлено точкой гиперплоскости или Направление вектора выходящего из начала отсчета, изображается на соответствующей гиперплоскости точкой Внутренняя часть сферы изображает множество времениподобных направлений прошлого, а внутренняя часть — множество времениподобных направлений будущего. Части гиперплоскостей вне этих сфер изображают пространственноподобные направления.

Остановимся на физическом истолковании пересечений Представим себе наблюдателя, расположенного в событии

О пространства-времени. Лучи света, проходящие через его глаз, соответствуют теперь изотропным прямым линиям, проходящим через О, а направления прошлого упомянутых линий образуют поле зрения наблюдателя. Это и есть пространство изображаемое сферой Фактически представляет собой точный геометрический образ того, что наблюдатель действительно «видит» при условии, что он неподвижен относитель но системы отсчета т. е. его мировая скорость есть . В самом деле, наблюдатель может считать себя постоянно находящимся в центре некой единичной сферы (его сферы зрения), на которую он отображает все, что видит в любой момент времени. Прямые, идущие из его глаза к этим точкам изображения на представляют собой проекции мировых линий

Рис. 1.3. Стереографическая проекция сферы на аргандову плоскость.

приходящих лучей на его мгновенное пространство Следовательно, эти изображения конгруэнтны с изображениями на (ср. рис. 1.2) и мы можем назвать У или небесной сферой точки О. Отображение изотропных направлений прошлого, выпущенных из О, в точки сферы мы будем называть небесным отображением. Поскольку всякий изотропный вектор указывающий в прошлое, единственным (и инвариантным) образом связан с некоторым изотропным вектором, указывающим в будущее (а именно, с вектором поле зрения наблюдателя представляется также сферой Это представление можно назвать антинебесным отображением. Соответствие между и — это просто соответствие т. е. диаметрально противоположное отображение при наложении одной сферы на другую. Такое отображение изменяет ориентацию сферы на противоположную: например, касательный вектор на сфере вращающийся по часовой стрелке, если смотреть из центра, вращается против часовой стрелки на сфере

Сферу можно естественным образом рассматривать как риманову сферу аргандовой плоскости (плоскости Арганда — Бесселя — Гаусса); эта сфера является хорошо известным представлением комплексных чисел, включающим бесконечность. Обычные свойства аргандовой плоскости и ее римановой сферы отражают многие геометрические свойства векторного пространства Минковского V. В частности, ограниченное преобразование Лоренца на V оказывается однозначно определяемым по результату своего воздействия на риманову сферу (и тем самым на изотропные направления). Более того, как мы увидим в § 4, спин-векторы допускают прямую геометрическую интерпретацию на римановой сфере.

Мы можем заменить координаты на одним комплексным числом, полученным на основе «стереографического» соответствия между сферой и плоскостью (рис. 1.3). Возьмем плоскость 2 с уравнением в евклидовом 3-пространстве и отобразим точки сферы на эту плоскость путем

проектирования из северного полюса Пусть соответственные точки на . Далее, обозначим через конечные точки перпендикуляров, опущенных из точки Р на и Помечая точки на одним комплексным параметром

имеем

где

Следовательно, параметр следующим образом выражается через координаты точки Р:

Чтобы получить обратное соотношение, исключим сначала х и у из (1.2.6) на основании (1.2.3):

Решая относительно и подставляя полученное выражение в (1.2.6), получаем

Алегебраические выражения (1.2.6) и (1.2.8) устанавливают стандартное стереографическое соответствие между аргандовок плоскостью и единичной сферой в -пространстве с центром в точке . Это соответствие одно - однозначно, если мы считаем одной «точкой», добавленной к аргандовой плоскости, и связываем эту точку с северным полюсом сферы. Таким образом, сфера дает стандартную реализацию аргандовой плоскости с добавленной точкой она пред ставляет собой риманову сферу .

Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация соотношения которое ставит в соответствие сферическим полярным координатам комплексную стереографическую координату . (Угол равен углу при южном полюсе, который стягивается отрезком поскольку оба эти угла дополнительна углу )

В качестве альтернативного выбора координат на мы можем применить обычные сферические полярные координаты, связанные с соотношениями

Выражение для в координатах находится путем подстановки (1.2.9) в (1.2.6):

Его можно также вывести, пользуясь рис. 1.4, на основании простой тригонометрии.

Формулы (1.2.6) — (1.2.8) и (1.2.10) применимы к антинебесному отображению

Нас будут интересовать также соответствующие формулы для небесного отображения, при котором всякое изотропное направление, выходящее из точки О, представляется типичным событием прошлого а не событием будущего Если потребовать, чтобы точка комплексной плоскости в обоих

случаях представляла одну и ту же изотропную прямую, то она должна соответствовать на сферах диаметрально противоположным точкам . Следовательно, искомые формулы получаются из (1.2.6) — (1.2.8) и (1.2.10) путем преобразования, переводящего точки на сфере в диаметрально им противоположные: , или, что эквивалентно, . В частности, выражение (1.2.10) приобретает вид

(Заметим, что действие преобразования, переводящего точки на сфере в диаметрально им противоположные, таково: — Приведенное выше соответствие между множеством изотропных направлений будущего (прошлого), исходящих из точки О, и комплексной плоскостью С могло бы быть получено более прямым путем, чем на основе стереографической проекции. Чтобы реализовать указанное прямое соответствие (рис. 1.5), разрежем пространство переменных изотропной гиперплоскостью П, уравнение которой имеет вид

а не пространствениоподобной гиперплоскостью Рассмотрим изотропную прямую, проходящую через точку О и пересекающую сферу в точке . Ясно, что эта прямая содержит точку

принадлежащую гиперплоскости П. Теперь координаты точки будут такими:

причем

как в (1.2.4), (1.2.6), и, следовательно, получается путем простого ортогонального проектирования П на . В исключительном случае изотропная прямая, проходящая через точку О, параллельна гиперплоскости П и, таким образом, не пересекает П ни в какой конечной точке.

Рис. 1.5 поясняет геометрическую связь между нашими двумя различными построениями. Пусть, как и раньше, — северный полюс сферы Далее, пусть — рассматриваемая прямая линия с и Обозначим через Р ортогональную проекцию точки на плоскость

Рис. 1.5. Стереографическая проекция и соответствия . («Параболическое» сечение конуса плоскостью П имеет ту же самую внутреннюю евклидову метрику, что и плоскость — аргандова плоскость координаты )

Тогда направление будет направлением т. е. тем же самым, что и направление Следовательно, точки компланарны, а точка Р лежит на определяемой ими плоскости, поскольку она принадлежит прямой Однако точки также лежат на гиперплоскости Следовательно, они коллинеарны, и поэтому точка является стереографической проекцией точки Р (из на с точкой в качестве полюса). Таким образом, искомая эквивалентность установлена геометрически.

1
Оглавление
email@scask.ru