Преобразования Лоренца и спиновые преобразования

Чтобы не пользоваться бесконечной координатой для точки (1, 0, 0, 1) на северном полюсе сферы иногда бывает удобно метить точки на не одним комплексным числом а парой комплексных чисел (не равных нулю одновременно), подчиненных условию

Они представляют собой проективные (однородные) комплексные координаты, так что при произвольном отличном от нуля

комплексном числе А, пары изображают одну и ту же точку на . В этих координатах дополнительная точка на бесконечности задается конечной меткой, например . Таким образом, мы рассматриваем теперь как реализацию некоторой комплексной проективной прямой. Выражения (1.2.8), переписанные в этих комплексных однородных координатах, принимают вид

Заметим,что х, у и z являются однородными функциями нулевой степени относительно и потому инвариантны при изменении масштаба

Напомним, что роль точки на состояла просто в том, что она представляла некоторое изотропное направление, исходящее из начала О. При желании мы могли бы выбрать любую другую точку на прямой и она представляла бы то же самое изотропное направление. В частности, мы могли бы выбрать точку на с координатами полученными из координат точки Р умножением на . Такое умножение исключает знаменатели в (1.2.14). (Множитель введен для удобства в дальнейшем.) Теперь вектор имеет координаты

Однако в отличие от точки Р точка зависит от изменения масштаба описываемого действительным числом хотя она и не зависит от фазы «масштабного преобразования» Таким образом, положение точки не является функцией одной лишь координаты , хотя направление зависит только от .

Теперь из (1.2.15) легко видеть, что всякое комплексное линейное преобразование приводит к действительному линейному преобразованию [задаваемому в явном виде формулой (1.2.24), приводимой ниже]. Поскольку изотропные векторы заметают все пространство V, линейное преобразование изотропных векторов порождает линейное преобразование V, формально задаваемое тем же самым уравнением [а именно (1.2.24)] на общие координаты При таком преобразовании свойство (1.2.2) будет сохраняться. Таким образом, мы получаем преобразование Лоренца, дополненное.

возможно, растяжением. Во всяком случае, изотропные направления, исходящие из точки О, будут теми же самыми, что и при лорендевом преобразовании, поскольку растяжения не меняют направлений.

Рассмотрим теперь комплексные линейные (несингулярные) преобразования координат и

Здесь — произвольные комплексные числа, удовлетворяющие единственному условию (регулярность). Преобразования (1.2.16), будучи записанными для , приобретают вид

Без потери общности для преобразования величины мы можем нормировать (1.2.16) условием сунимодулярности»

Преобразования (1.2.16) [или (1.2.17) ], удовлетворяющие условию (1.2.18), называются спиновыми преобразованиями в случае, когда величина связана с изотропными векторами Минковского соотношениями (1.2.13) и (1.2.15). Заметим, что из этих соотношений вытекает равенство

В том же самом случае определим спин-матрицу А:

Последнее условие представляет собой просто условие нормировки (1.2.18). Преобразования (1.2.16), будучи записаны через А, принимают вид

Из (1.2.21) видно, что композиция двух последовательных спиновых преобразований снова есть спиновое преобразование: спин-матрица композиции двух преобразований равна

произведению спин-матриц преобразований-сомножителей. Кроме того, каждая спин-матрица А имеет обратную спин-матрицу

Таким образом, спиновые преобразования образуют группу, которую мы будем называть группой .

Заметим, что две спин-матрицы А и —А отвечают одному и тому же преобразованию сферы , несмотря на то, что они определяют различные спиновые преобразования. Предположим, наоборот, что А и В — спин-матрицы, определяющие одно и то же преобразование сферы . Тогда спин-матрица определяет тождественное преобразование сферы . В силу (1.2.17) это означает, что Из нормировки вытекает, что Таким образом, (матрица тождественного преобразования) и, следовательно, Поэтому спиновое преобразование определяется результатом своего действия на риманову сферу единственным образом с точностью до знака.

Проанализируем действие спинового преобразования (1.2.21) на координаты Заметим, что равенства (1.2.15) могут быть перегруппированы и переписаны в виде

Отсюда видно, что спиновое преобразование (1.2.21) действует следующим образом:

где — матрица, полученная из А путем комплексного сопряжения и транспонирования. Как было отмечено ранее, преобразование (1.2.24) является линейным преобразованием координат оно действительное [поскольку эрмитовость при (1.2.24) не нарушается] и, кроме того, сохраняет условие Заметим также, что в случае произвольного (т. е. не обязательно изотропного) мирового вектора

спин-матрица А продолжает определять преобразование удовлетворяющее условию (1.2.24). Это преобразование не

только линейно и действительно, но и сохраняет выражение инвариантным. Указанная инвариантность имеет место потому» что это выражение представляет собой в точности определитель матрицы, стоящей слева в формуле (1.2.24), а определитель матрицы, стоящей в формуле (1.2.24) справа, равен просто этому выражению, умноженному на , т. е. на 1 [формулы (1.2.20)]. Таким образом, соотношением (1.2.24) определяется преобразование Лоренца. Как преобразование координат оно может быть записано в явной форме

В действительности преобразование (1.2.26) должно быть ограниченным преобразованием Лоренца. Это вытекает из следующих утверждений: 1) преобразование Лоренца, непрерывно переходящее в тождественное преобразование, должно быть ограниченным, поскольку непрерывным лоренцевым поворотом нельзя перевести положительную временную ось, лежащую внутри светового конуса будущего, внутрь светового конуса прошлого, т. е. осуществить инверсию пространства; 2) очевидно, что преобразование (1.2.24) непрерывно переходит в тождественное преобразование, если спин-матрица А непрерывно переходит в единичную матрицу; 3) как и всякая спин-матрица, матрица А непрерывно переходит в единичную матрицу. Для доказательства последнего утверждения рассмотрим матрицу Она сингулярна самое большее при двух значениях X, и мы можем рассмотреть путь в комплексной Х-пло-скости от 0 до 1, обходящий эти значения. Тогда определит непрерывную последовательность спиновых преобразований А в I или —I. [Последнее имеет место для такого пути, когда изменяется от 1 до —1, например если Но —I непрерывно переходит в I, скажем, при спиновом

преобразовании , таким образом, утверждение 3 доказано.]

Теперь мы представим конструктивное доказательство того, что, наоборот, всякое ограниченное преобразование Лоренца выражается в виде (1.2.24), где А — некоторая спин-матрица. Тогда мы установим следующий фундаментальный результат:

Предложение

Всякое спиновое преобразование соответствует [в силу (1.2.24)] единственному ограниченному преобразованию Лоренца; обратно, всякое ограниченное преобразование Лоренца соответствует двум и только двум спиновым преобразованиям, из которых одно противоположно другому. (1.2.27)

Обратная часть данного утверждения тривиально следует из одного общего свойства групп Ли. А именно подгруппа группы Лоренца, фигурирующая в (1.2.24), должна иметь полную размерность, равную шести. Это вытекает из того, что спин-матрицы образуют действительную шестимерную (т. е. комплексную трехмерную) систему и что только дискретное множество спин-матриц (а именно две спин-матрицы) отвечает произвольно заданному преобразованию Лоренца. Эта полномерная подгруппа должна содержать полностью связную компоненту группы Лоренца, включающую тождественное преобразование.

Полезно, однако, дать другой вывод обратной части утверждения (1.2.27), состоящий в явном построении спин-матриц, соответствующих некоему основному преобразованию Лоренца, из которого может быть образована вся группа. К таким основным преобразованиям относятся прос-транственные вращения и «бу-сты» (т. е. чистые преобразования скорости), описываемые хорошо известными соотношениями

где — параметр скорости. Всякое ограниченное (активное) преобразование Лоренца может быть составлено из собственного пространственного вращения, буста в направлении оси , наконец, второго пространственного вращения. Посмотрим, как такое преобразование характеризуется своим действием на тетраду Минковского. Выберем первое вращение таким образом, чтобы оно переводило вектор в пространственно-временную плоскость, содержащую как начальное, так и конечное направления Затем буст (1.2.28) придаст вектору его окончательное направление, а второе вращение используется для надлежащей

ориентации векторов Таким образом, нам остается показать, что пространственные вращения и -бусты могут быть получены из спиновых преобразований. Рассмотрим сначала вращения и установим следующий результат:

Предложение

Всякое унитарное спиновое преобразование соответствует единственному собственному вращению сферы обратно, всякое собственное вращение сферы соответствует двум и только двум унитарным спиновым преобразованиям, из которых одно противоположно другому. [Унитарным спиновым преобразованием называется такое, которое задается унитарной спин-матрицей:

Прежде всего посмотрим более внимательно, каков геометрический смысл наших преобразований. Преобразования Лоренца считаются здесь активными. Сферы и рассматриваются как часть координатной системы и не принимают участия в преобразовании, так что при смещении всякого изотропного направления будущего (прошлого) сдвигается и его представление на . К примеру, вращение , оставляющее инвариантным, соответствует вращению изображения на которое можно условно назвать «вращением сферы» Плоскость тоже является частью координатной структуры и остается неизменной, тогда как изображения на ней изотропных прямых сдвигаются. Здесь тоже мы можем говорить о «движениях» плоскости 2. (Конечно, и 2 инвариантны не более чем различные координатные гиперплоскости: лежащие в них векторы в общем случае выйдут за их пределы после осуществления преобразования Лоренца.) Важно помнить, что, хотя мы имеем здесь дело с представлением только изотропных направлений пространства V, преобразованиями этих направлений однозначно определяется преобразование всех векторов пространства V.

Из (1.2.24) теперь ясно, что переменная Т инвариантна при унитарном спиновом преобразовании, поскольку ее след всегда инвариантен при унитарных преобразованиях. [С равным успехом мы можем сослаться на инвариантность выражения представляющего собой эрмитову норму пары ] Ограниченные преобразования Лоренца, при которых переменная Т инвариантна, есть просто собственные вращения сферы (поскольку они оставляют инвариантным что и требовалось доказать. Чтобы в явном виде продемонстрировать обратное утверждение, заметим сначала, что всякое собственное

вращение сферы может быть составлено из последовательных вращений вокруг осей У и Действительно, триада определяется полярными координатами оси относительно и углом образованным плоскостями . (Указанные три угла по существу представляют собой хорошо известные углы Эйлера в механике Таким образом, требуемое преобразование будет достигаться вращением на угол вокруг вектора затем вращением на угол вокруг первоначального вектора у и, наконец, вращением на угол вокруг первоначального вектора Покажем, как эти элементарные вращения могут быть представлены унитарными спиновыми преобразованиями. Отсюда будет следовать, что всякое собственное вращение сферы может быть представлено указанным образом, поскольку произведение унитарных матриц есть унитарная матрица.

Очевидно, что вращение сферы вокруг оси на угол возникает из вращения аргандовой плоскости относительно начала на угол Такое вращение задается соотношением

т. е. спиновыми преобразованиями

Далее, мы утверждаем, что вращение сферы на угол вокруг оси у задается следующими унитарными спиновыми преобразованиями:

Поскольку преобразования (1.2.32) унитарны, они несомненно представляют некоторое вращение. Более того, поскольку разность так же как и сумма инвариантна, из (1.2.14) вытекает, что -координаты точек на инвариантны при (1.2.32). Следовательно, рассматриваемое вращение происходит вокруг оси у. Наконец, преобразование (1.2.32) переводит точку (1, 0, 0, 1) в точку так что угол поворота действительно равен 0. (Путем подобных же рассуждений можно показать, что унитарные спиновые преобразования

отвечают вращению на угол вокруг оси х.) Тем самым предложение (1.2.29) доказано. Для ссылок мы выпишем результирующую спин-матрицу, отвечающую (общему) вращению с углами Эйлера

Элементы этой матрицы фактически задаются параметрами вращения Кэли — Клейна, известными из механики [801.

В дополнение к доказательству предложения (1.2.27) покажем, что всякий -буст (1.2.28) может быть получен из спинового преобразования. Для этого перепишем (1.2.28) в виде

где

(Здесь — релятивистский доплеровский множитель, причем есть «быстрота», соответствующая параметру скорости На основании (1.2.24) мы тотчас же заключаем, что преобразования (1.2.35) выполняются при спиновом преобразовании

или, если рассматривать аргандову плоскость С, при обычном растяжении

Таким образом, предложение (1.2.27) доказано.

Заметим, наконец, что всякий чистый буст (оставляющий инвариантными две гиперплоскости, ортогональные вектору в приведенных выше обозначениях) соответствует положительно (или отрицательно) определенной эрмитовой спин-матрице и наоборот. В справедливости этого соответствия мы убеждаемся на том основании, что является чистым бустом, а чтобы получить буст в любом другом направлении, нам достаточно совместить это направление с -направлением, применить -буст и вернуть это направление в

исходное положение. Такой процедуре отвечает спин-матрица , где А — требуемое вращение, а В есть -буст; на основе элементарной теории матриц заключаем, что продолжает оставаться положительно (отрицательно) определенной эрмитовой матрицей. Обратно, всякая положительно (отрицательно) определенная эрмитова матрица В может быть диагонализована при помощи унитарной матрицы , причем последняя должна иметь вид поскольку сохраняются условия эрмитовости, дежнитности и равенства определителя единице. Следовательно, В имеет вид и наше утверждение доказано.

Из сказанного ранее нетрудно видеть, что всякое ограниченное преобразование Лоренца представимо в виде однозначно определенной композиции одного буста и одного собственного пространственного вращения, а также композиции упомянутых здесь преобразований, взятых в иной последовательности. Чтобы убедиться в этом, мы должны просто задать пространственное направление ортогональным направлению и лежащим в плоскости, содержащей первоначальный и конечный векторы применить «да-буст», переводящий вектор в его конечное положение, и затем путем пространственного поворота надлежащим образом переориентировать Очевидно, что если мы выполним указанные преобразования в обратной последовательности, то получим расщепление преобразования Опять с учетом сказанного выше читатель узнает в этом результате следствие математической теоремы о том, что всякая несингулярная комплексная матрица однозначным образом представима в виде произведения унитарной матрицы и положительно определенной эрмитовой матрицы и наоборот.