Тензор энергии-импульса

Трудности, отмеченные выше, перекликаются с проблемами, возникающими при попытках построения для безмассовых полей с более высокими спинами физически содержательных выражений для тензоров энергии-импульса (симметричных и имеющих нулевую дивергенцию), играющих роль источников в гравитационном случае, а также векторов тока в электромагнитном случае, которые должны стоять в правой части соответствующих уравнений поля. Выше было показано [формула (5.2.4)], как построить тензор в случае бёзмассового поля

со спином 1. В случае поля Дирака — Вейля со спином 1/2 имеем

а в случае массивного (дираковского) поля со спином 1/2 (формула (4.4.66)] тензор энергии-импульса имеет вид

где — действительная постоянная. (Такие поля не являются классическими. Это относится ко всем полям с полуцелым спином, к которым приложим принцип запрета Паули (см., например, [16]). Следовательно, выражение (5.8.3) должно применяться лишь в квантовой теории поля. С этим связано отсутствие положительной определенности величины где — времениподобный вектор.)

Эти тензоры, очевидно, симметричны, а тензор (5.8.3) имеет и нулевой след поскольку соотношение (5.7.16) указывает на его симметрию по индексам и Условие равенства нулю дивергенции также выполняется, хотя в случае искривленного пространства-времени это и не столь очевидно. При его проверке существенно сокращение членов, содержащих теизор кривизны, который возникает при перестановке производных. Для тензора (5.8.3) этот результат можно получить из следующего тождества, которое понадобится также в т. 2:

[Оно вытекает из формулы (4.9.7), если воспользоваться тождеством (2.5.23) в форме Если то члены с производными в правой части исчезают и симметризация по в левой части может быть опущена. Если применить оператор к тензору (5.8.3), то возникнет член, содержащий (5.8.4), который сокращается с сопряженным ему. Искомый результат отсюда следует непосредственно.

Случай спина 0 требует особого рассмотрения, которое лучше отложить до гл. 6, § 8. Здесь мы приведем лишь выражения для тензора энергии-импульса

поля, удовлетворяющего уравнению действительно), а также для тензора

в случае конформно-инвариантного уравнения [формулы (6.8.30) - (6.8.37)]; подробнее см. [140].

Однако в случаях спина не существует выражения для имеющего перечисленные свойства симметрии и нулевую дивергенцию, которое зависело бы квадратично от локальных полевых величин . В этом нетрудно убедиться, рассматривая различные возможные члены, квадратичные или билинейные по и их производным. Поле имеет избыток индексов, который, как оказывается, невозможно ликвидировать с помощью сверток. Взятие производных от также не разрешает этой трудности. Чтобы построить нам пришлось бы прибегнуть к интегрированию Выражения для построенные с помощью потенциалов поля действительно существуют. Но они непригодны для общей теории относительности, поскольку в эйнштейновские уравнения поля входят локальные значения тензора а не проинтегрированные выражения для полной энергии. Такие локальные выражения зависели бы от калибровки потенциалов и, следовательно, не имели бы определенного физического смысла. В случае самого гравитационного поля локальный тензор энергии-импульса не существует. Но в нем и нет необходимости, поскольку гравитационное поле не дает вклада в правую часть уравнений Эйнштейна. Вместо этого гравитационная энергия фигурирует как нелокальная величина (гл. 9, § 9 и 10).

Хотя случай заряженных полей с нулевой массой менее интересен с физической точки зрения, не мешает заметить, что для таких полей оказывается невозможным построить локальный вектор тока по образцу выражений (5.10.16) и (5.10.21) при тех же значениях спина, при которых имеют место трудности с соотношением совместности (5.8.2). Если бы поле нейтрино было заряженным, то соответствующий вектор тока был бы пропорционален Но для полей с большими спинами локальные (калибровочно-инвариантные) выражения построить невозможно.