Скобки Ли и производные Ли
Перейдем теперь к (4.3.2), второй операции в нашем списке операций, не зависящих от связности. Она называется скобкой Ли и содержится во всех последующих операциях (4.3.3) — (4.3.6) списка. Более глубокая точка зрения на эту операцию состоит в следующем. Пусть 
и V — дифференцирования на алгебре 
Отображение 
определенное с помощью коммутатора
т. е. как
также является дифференцированием. [Соотношения I и II в (4.1.11), очевидно, выполняются. В справедливости условия III нетрудно убедиться непосредственно.] Пусть 
— некоторый оператор ковариантной производной. Выразим 
через 
Имеем
Таким образом,
это выражение сводится к (4.3.2), если оператор 
симметричен 
кстати, показывает, как следует модифицировать (4.3.2) при наличии кручения].
Скобка Ли удовлетворяет соотношениям, выполняющимся для всех коммутаторов, а именно:
второе из этих соотношений называют тождеством Якоби. Скобка Ли играет важную роль в современной дифференциальной
геометрии. Причина этого в том, что коммутатор ковариантных производных по направлению
(не обязательно действующих на скаляры) содержит скобку Ли. Повторяя по существу вычисления, проведенные в (4.3.28), мы получаем [формула (4.2.24)]
и [в силу (4.2.31)]
Третья не зависящая от связности операция нашего списка (4.3.3) называется производной Ли тензора 
вдоль вектора V, Эта операция строится следующим образом. Мы определяем
как производную Ли ковариантного вектора X вдоль V. Производная Ли скаляра 
будет просто производной по направлению вектора V.
Тогда производная Ли ковариантного вектора определяется из (4.3.34) и (4.3.35), если потребовать, чтобы правило Лейбница выполнялось для производной Ли от 
Отсюда следует, что
где мы считаем оператор 
симметричным. Аналогично, чтобы получить (4.3.3), достаточно потребовать, чтобы производная Ли от 
удовлетворяла правилу Лейбница. Другой способ состоит в том, чтобы разложить на сумму прямых произведений векторов, а затем воспользоваться свойством линейности и правилом Лейбница при дифференцировании каждого слагаемого. Это однозначно приводит к (4.3.3) при
условии, что 
симметричный оператор. Как нетрудно убедиться, коммутатор производных Ли удовлетворяет соотношению
Геометрический смысл производной Ли в том, что она изображает инфинитезимальный перенос тензора 
вдоль инте тральных кривых V в М. Результат конечного переноса имеет вид 
где 
— параметр вдоль кривой. Подробное обсуждение этого вопроса можно найти в монографиях [33, 84].
Последние три операции нашего списка (4.3.4) — (4.3.6) не столь важны, как три предыдущие. Здесь мы укажем лишь на специальный случай выражения (4.3.6):
Это выражение играет существенную роль в теории комплексных многообразий.
