Определение векторных расслоений

Наша цель — введение такой абстрактной тензорной алгебры, которая была бы пригодна в случае расслоенных пространств. Для этого необходимо ввести индексы расслоения (обозначаемые заглавными греческими буквами) дополнительно к обычным пространственно-временным (и спинорным) индексам. Мы построим систему элементы которой описывают гладкое сечение расслоения. Дадим вначале определения в координатном описании, справедливом локально на применяя в соответствии с общими соглашениями гл. 2 заглавные греческие буквы жирного шрифта, расположенные справа. Далее процедура непосредственно приводит нас к глобальной и не зависящей от координат системе абстрактных индексов. (Близкий подход был недавно предложен в работе

Нам потребуется более формальное определение векторного расслоения [18]. Пусть задано (хаусдорфово, паракомпактное, многообразие тогда действительным (комплексным) -мерным векторным расслоением над называется многообразие снабженное -отображением

(понимаемым как проекция, сжимающая каждый слой в точку многообразия «под» ним), таким, что есть действительное (или комплексное) векторное пространство размерности для всякой точки

Далее, определяя сечение слоев для всякого открытого множества как отображение класса

такое, что есть единица на потребуем, чтобы существовало покрытие многообразия семейством открытых множеств таким, что

Для всякого существует базис сечений

с помощью которого сечение слоев однозначно представимо в виде (без суммирования по

где Сложение двух сечений и умножение их на скалярные поля определяется очевидным образом в соответствии с линейной структурой слоев. Условие (5.4.4) означает, что в определенном смысле многообразие локально имеет структуру прямого произведения (локально в ).

Любое глобальное сечение Я расслоения пространства будет обладать тем свойством, что его ограничение на любое открытое множество совпадает с сечением слоев Однако если могут существовать сечения П которые не являются ограничениями глобальных сечений а именно те, которые из-за плохой дифференцируемости на границе не могут быть продолжены за нее. Мы будем требовать существования модуля сечений, расширяемых над Пусть задается некоторым элементом Тогда, как гл. 1, § 1, требуемые расширяемые сечения могут быть представлены как классы эквивалентности сечений расслоения пространства таких, что если Пусть — открытое множество в «чуть меньшее» открытое множество, для которого (замыкание в тогда ограничение на любого сечения над также является ограничением на некоторого глобального сечения (поскольку такое глобальное сечение может гладко спадать до нуля между и затем быть нулевым вне . В частности, базис над в (5.4.4) ограничивается до базиса над «чуть меньшим» множеством причем каждый из элементов расширяется до некоторого глобального поперечного сечения. Любое покрытие многообразия можно таким путем «слегка уменьшить» до покрытия такого,

Путем таких же рассуждений, как и в гл. 2 § 4, можно показать, что существует конечное покрытие многообразия и разбиение единицы такое, что О и где определяется условием причем базис можно теперь выбрать расширяемым до глобальных сечений. Стало быть, если есть произвольное (глобальное) сечение многообразия мы будем иметь элементы (компоненты в базисе ), для которых

Таким образом, суммируя, получаем

Из изложенного в гл. 2, § 4 следует, что сечения многообразия Я образуют полностью рефлексивный модуль над Теперь мы введем прописные буквы греческого алфавита в качестве абстрактных индексов, помечающих эти сечения, и обозначим модуль и его изоморфные копии через Тогда соотношение (5.4.5) можно переписать в виде

в случаях, когда существует глобальный базис для сечений. Если же базиса нет, то в силу формулы (5.4.6) имеем

Модуль сечений расслоения дает возможность охарактеризовать многообразие как расслоение над с точностью до изоморфизма: по определению два расслоения над рассматриваются как изоморфные тогда и только тогда, кохда соответствующие модули сечений изоморфны как модули над

Отметим, что (с абстрактным индексом) просто обозначает полное сечение и не требует выражения через координатные области. Это еще одна иллюстрация удобства применения абстрактных индексов: вычисления с ними автоматически приобретают глобальную значимость.