Внешние величины
До сих пор мы рассматривали только действительную часть величины К в выражении (4.14.20). Мнимая часть К появится в формуле (4.14.1) только при условии, что величина, на которую действует этот коммутатор, имеет ненулевой бустовый вес, т. е. 
Такие величины не являются внутренними для поверхности 
Исследовать этот случай можно, повторив предыдущие рассуждения, когда оператор (4.14.1) действует на величины
а не на величины (4.14.16). Чтобы 
не обращались в нуль одновременно, вектор 
должен иметь составляющие, перпендикулярные поверхности можно положить, что 
лежит в плоскости, натянутой на векторы 
и 
, так что он определяется
величинами 
. Вместо (4.14.11) мы можем рассмотреть величину
где
есть проекционный оператор, ортогональный оператору 
т. е. оператор проектирования на направление, перпендикулярное поверхности 
. Теперь 
и (ненулевые) компоненты величины (4.14.38) относительно изотропной тетрады принимают вид
вместо (4.14.15). Получающаяся формула, аналогичная формуле (4.14.22), отличается от нее заменой 
на 
или 
, а также тем, что действие операторов 
определено как в (4.14.38). Эта операция состоит в переносе векторов, перпендикулярных поверхности 
вдоль 
тогда как ранее переносились векторы, касательные к 
. Вместо сомножителя 
, входившего в правую часть соотношения (4.14.19), мы теперь имеем — 
для 
для 
Таким образом, мнимая часть величины К есть внешняя Кривизна, связанная с переносом вдоль 
векторов, перпендикулярных 
. Напомним, что гауссову кривизну можно мыслить как меру поворота касательного пространства при его параллельном переносе вдоль малой петли на 
Аналогично мы имеем лоренцев поворот ортогонального пространства при переносе вдоль той же петли. Действительная часть величины 
служит мерой первого поворота, а мнимая часть — второго. Будем называть К комплексной кривизной поверхности 
.
Попутно отметим, что кривизна К может быть представлена в виде суммы двух слагаемых
из которых первое имеет простые трансформационные свойства при масштабных преобразованиях [т. 2, формулы (5.6.28) и (6.8.4)], а второе действительно. Одним из следствий этого любопытного факта является то, что внешняя (т. е. мнимая) часть кривизны по существу есть конформный инвариант (соответствующие определения см. в гл. 5, § 6).
Продолжая обсуждение свойств кривизны, мы напомним теорему Гаусса — Бонне, утверждающую, что в случае замкнутой поверхности 
рода 
поверхностный интеграл от гауссовой
кривизны по 
равен 
Поэтому в нашем случае имеем 
где 
— элемент площади поверхности 
-форма на 
Из нашего обсуждения свойств величины 
можно заключить, что
Это следует из того, что бусты 
образуют топологически тривиальную 
-параметрическую группу.
Интеграл 
по ограниченной области в 
есть мера полного поворота при обходе границы этой области. Если граница стягивается в точку, полный буст равен нулю в противоположность евклидову вращению, когда полный поворот может быть пропорционален 
Комбинируя (4.14.42) и (4.14.43), получаем
С учетом замечаний, сделанных после формулы (4.14.41), можно показать, что величина
являясь, кроме того (как показывается в гл. 5, § 6), конформно инвариантной величиной, ассоциированной с произвольной замкнутой пространственноподобной 2-поверхностью, вложенной в пространство-время. Этот результат играет важную роль в определении массы, введенном Бонди и Саксом (гл. 9, § 9).
