Тензорные операции

Теперь займемся тензорными операциями сложения, тензорного умножения, замены индексов и свертывания. Сложение — это отображение определенное для каждой пары непересекающихся подмножеств множества а сумма может быть определена очевидным образом на основе любого из наших определений тензора. Если воспользоваться определением тензора типа I, то сумма — это не что иное, как полилинейное

отображение значение которого представляет собой сумму отображений, определенных тензорами . В случае же определения тензора типа II нужно просто представить каждый тензор и в виде (2.2.14) и формально сложить эти две формальные суммы. Ясно, что эти определения эквивалентны друг другу и что сумма — это то же самое, что уже было определено в случаях Кроме того,

Тензорное умножение — это отображение определенное для каждой четверки непересекающихся подмножеств множества Произведение снова может быть определено очевидным способом на основе любого определения тензора. Если использовать определение тензора типа I, то можно определить произведение как полилинейное отображение значение которого является произведением отображений, определяемых тензорами А... и (Причина, по которой требуется отсутствие пересечений множеств индексов в случае умножения, а также в случае сложения, заключается, в данном контексте, в том, что в противном случае мы не сможем получить полилинейное отображение.) Если же воспользоваться определением тензора типа II, то для определения тензорного произведения мы просто формально перемножим соответствующие формальные суммы (2.2.14) и применим распределительный закон. Из (2.2.17) следует, что эти два определения эквивалентны друг другу. Исходя из любого определения, легко получить соотношения

Отметим, что обозначения, используемые в формальной сумме формальных произведений (2.2.14), согласуются с

вышеприведенными обозначениями. Иными словами, (2.2.14) можно рассматривать как сумму только что определенных тензорных произведений. Это опять же немедленно следует из любого определения.

Частным случаем тензорного произведения является операция умножения тензора на скаляр. При этом мы приходим к операции умножения на скаляр, определенной на каждом множестве Вместе с операцией сложения она сообщает всякому множеству структуру модуля [ср. с формулой (2.2.3)], ибо выполнение необходимых для этого требований, дополнительных к именно

и

очевидно. Далее мы будем обозначать через а чаще даже просто через 0. Заметим, что

В случаях операция умножения на скаляр согласуется с предыдущими определениями.

Замена индексов — это отображение определенное на каждом и индуцированное просто некоторой перестановкой элементов в множестве меток (при этом число элементов в наборах а также в наборах должно быть одинаковым, но подмножества не должны быть непересекающимися). Сама по себе эта операция совершенно тривиальна: любое соотношение имеет в той же мере справедливый аналог, полученный переименованием индексов. Очевидно, что любая замена индексов коммутирует с операциями сложения и тензорного умножения.

В частном случае, когда операция замены индексов сводится лишь к перестановкам внутри подмножеств мы приходим к отображению , которое в дальнейшем будем называть перестановкой индексов. Применяя

операцию перестановки индексов в сочетании с операцией сложения, можно определить операции симметризации и антисимметризации. Пусть, например, дано тогда можно определить другой элемент Теперь симметричную и антисимметричную части элемента можно записать как соответственно. Таким образом, в сочетании, к примеру, со сложением операция замены индексов перестает быть тривиальной.

Далее, -свертка — это отображение определенное для всякой пары непересекающихся подмножеств множества таких, что элементы множества не относятся ни к одному из этих подмножеств. Здесь следует воспользоваться определением тензора типа ). Пусть

Тогда -свертку тензора можно определить как

Если скаляр «встроить» в один из оставшихся векторов данного произведения, то получится выражение требуемой формы (2.2.14). Причем из (2.2.16) следует, что не важно, в какой именно вектор он будет «встроен». Теперь остается только показать, что любые два выражения типа (2.2.26), эквивалентные в смысле равенств (2.2.15) и (2.2.16), приводят к эквивалентным же выражениям типа (2.2.27). Легко убедиться, что это

на самом деле имеет место, обратившись опять к (2.2.15) и (2.2.16) и воспользовавшись (где требуется) линейностью операции скалярного произведения.

Совершенно не важно, занимают ли свертываемые индексы именно последние места в верхнем и нижнем множествах индексов тензора Операция свертывания одинаково хорошо применена вне зависимости от того, где расположены выбранные для свертывания индексы. (Например, можно было бы определить: тогда Кроме того, согласно (2.2.8), в качестве «немого» индекса в формуле (2.2.27) с равным успехом можно было бы использовать любой другой элемент множества (скажем или ), который не обязательно присутствует среди Таким образом

Более того, из этого определения ясно, что не имеет значения и порядок, в котором выполняются две последовательные свертки. Так что можно безбоязненно писать для -свертки тензора или для -свертки тензора . К тому же прямо из определения следует, что -свертка коммутирует со сложением:

и, в определенном смысле, с умножением:

частным случаем чего является умножение на скаляр:

Кроме того, -свертка коммутирует с любой операцией замены индексов, не затрагивающей или . И наконец, очевидно, что любая операция замены индексов, примененная к двум индексам, которые впоследствии свертываются, не влияет на результат свертки.

Отметим, что все эти тензорные операции позволяют строить тензорные выражения (с индексами), которые совершенно

аналогичны выражениям классической тензорной алгебры, но теперь снабженные индексами символы обозначают сами тензоры, а не множества компонент тензора, безотносительно к тому, введен ли базис или какая-нибудь иная система координат. Мы можем сказать, к какому множеству относится тот или иной тензор, просто проанализировав его индексы. Как и в классических тензорных обозначениях, повторяющиеся индексы всегда встречаются попарно — один нижний и один верхний. Индексы, оставшиеся без пары, позволяют определить тип тензора, т. е. множество к которому он относится. Именно по этой причине мы часто будем опускать указания, к какому множеству относится данный тензор — информацию об этом несут сами индексы.

Следует, однако, заметить, что существуют определенные выражения, которые можно записывать, пользуясь подобными обозначениями, но которые не соответствуют каким-либо выражениям, принятым в классической тензорной алгебре. Простейший пример такого рода — произведение тензора на скаляр Использование скобок обязательно, поскольку

но при наличии скобок такие обозначения непротиворечивы (как это было бы при классической интерпретации). Однако во избежание недоразумений мы будем записывать такие выражения в форме, более близкой к используемой при классическом подходе. Так, соотношение (2.2.32) можно переписать в форме

которая во всяком случае более экономна. В то же время запись более компактна, нежели и абсолютно правильна.

Тензорное умножение с последующей сверткой (или свертками) индексов, принадлежащих двум сомножителям, иногда рассматривается как одна операция, называемая свернутым (или внутренним) произведением или, иногда, трансвекцией. Таким образом, мы приходим к произведению (тензорному или внутреннему), определенному для двух любых тензоров, но только при условии, что среди двух наборов верхних индексов, как и среди двух наборов нижних индексов, нет ни одной буквы, принадлежащей обоим верхним или обоим нижним наборам. Например, если то произведение будет свернутым произведением, которое является элементом множества Свернутое произведение коммутативно и дистрибутивно относительно операции

сложения. Но что касается ассоциативного закона, то здесь следует быть внимательным, в особенности когда рассматривается свернутое произведение трех или большего числа тензоров. Если ни один из индексов не появляется больше двух раз (один раз в верхнем наборе и один раз в нижнем), то никаких проблем не возникает и произведение ассоциативно. В противном случае возникает неопределенность вроде той, что уже встречалась нам в соотношении (2.2.32). Например, в общем случае

Мы можем (и, как правило, стараемся) убрать скобки, заменив два индекса у внутри скобок (в обеих частях рассматриваемого соотношения) какой-нибудь другой буквой, скажем , как в соотношении (2.2.33).

Отметим, что обозначение, использованное в формуле (2.2.13) для полилинейного отображения, определяемого тензором, согласуется с этим обозначением для свернутых произведений. Это легко показать, если обратиться к (2.2.17): операцию тензорного умножения на можно при желании выполнить в первую очередь, а операцию свертки во вторую. Таким образом, полилинейное отображение, определяемое тензором, есть частный случай многократного свернутого произведения.