Связь с кватернионами

В заключение данного параграфа скажем несколько слов о кватернионах. Тем самым мы внесем большую ясность в наши результаты по спин-матрицам, связанные с вращениями. Дело в том, что спин-матричное представление собственных вращений эквивалентно их более известному представлению с помощью кватернионов. Положим

Для этих матриц справедлива следующая таблица произвел дений:

которая определяет и к как элементарные кватернионы. Общий кватернион будет представляться матрицей

где Сумма и. произведение двух кватернионов получаются просто как матричная сумма и матричное произведение. Как и раньше, А определяется посредством соответствующей матричной операции, и мы напишем.

Матрица А в формуле (1.2.41) будет унитарной спин-матрицей, если она унимодулярная и унитарная. Однако из (1.2.41) вытекает, что

так что оба условия выполняются, если кватернион имеет единичную «норму»:

Таким образом, единичные кватернионы могут быть представлены унитарными спин-матрицами. Частными примерами единичных кватернионов являются элементарные кватернионы . Мы видим из (1.2.31) — (1.2.33) и (1.2.39), что и к определяют соответственно вращения на угол относительно осей X, Y и Z.

Если записать

и считать

вектором с компонентами относительно некоторого базиса и если аналогично то, как

нетрудно убедиться, выполняются соотношения

где векторные суммы и произведения обычным образом выражаются через компоненты. Отсюда с очевидностью вытекает, что правильное уравнение для кватернионов, включающее суммы и произведения, остается правильным после применения преобразования вращения к «векторным» компонентам действительно, «векторная» часть уравнения будет при таких преобразованиях форм-инвариантной.

Мы видели, что некоторые кватернионы могут представляться спин-матрицами. В этом смысле они могут рассматриваться как преобразования. Однако кватернионы играют двоякую роль в теории — они могут также выступать в качестве «трансформан-дов», т. е. три-векторов, подвергающихся преобразованиям. Как мы видели в (1.2.24), иногда бывает полезно образовать из компонент четыре-вектора определенную эрмитову матрицу. В частном случае, когда она может быть идентифицирована с «векторным» кватернионом [формула после умножения ее на

Тогда соотношение (1.2.24) перепишется следующим образом:

Из спин-матричной интерпретации этого равенства мы видим, что всякий единичный кватернион А будет (в соответствии с этим равенством) отвечать определенному собственному пространственному повороту вактора Ясно, что наиболее общий единичный кватернион может быть записан в виде

где Мы утверждаем, что такой кватернион А осуществляет вращение на угол вокруг вектора V. Для доказательства следует просто заметить, что (1.2.49) есть кватернионное равенство, а потому не изменяется при изменении (кватернионного) векторного базиса; повернем указанный базис таким образом, чтобы вектор приобрел вид (0, 1, 0). Тогда мы сразу же получим результат, эквивалентный

равенству (1.2.32), причем кватернион А будет приведен к спин-матрице, которая реализует вращение на угол относительно оси у, а вектор будет приведен к упомянутой оси. Следствием этого является важное утверждение, что всякий собственный пространственный поворот (единичный кватернион) есть вращение относительно некоторой оси на некоторый угол

Записав (1.2.50) в виде матрицы

мы получим наиболее общую унитарную спнн-матрицу с ясными трансформационными свойствами. Заметим, между прочим, что А изменяет знак при замене

Несмотря на то что унитарные спин-матрицы и единичные кватернионы представляют собой по существу одно и то же, в общем случае между спин-матрицами и кватернионами не существует такой тесной взаимосвязи. Дело в том, что кватернионы связаны с положительно определенными квадратичными формами [формула тогда как спин-матрица и преобразования Лоренца характеризуются лоренцевой сигнатурой Конечно, указанную трудность можно обойти путем введения «кватернионов» с надлежащими комплексными коэффициентами. Подобные объекты не будут обладать фундаментальным свойством действительных кватернионов, т. е. не будут образовывать алгебру с делением. Тем не менее простое использование кватернионных обозначений [особенно (1.2.47)] может привести к значительным упрощениям некоторых выкладок с общими спин-матрицами (см., например, [55]).