Разложение на симметричные спиноры

В заключение данного параграфа продемонстрируем то важное положение, что любой спинор в определенном смысле может быть выражен через совокупность спиноров, каждый из которых полностью симметричен по всем нештрихованным индексам и полностью симметричен по всем штрихованным индексам.

Начнем иллюстрацию нашей процедуры разложения в случае общего спинора имеющего валентность Имеем

где

ввиду (2.5.23). Ясно, что спинор симметричен, и то же самое касается спинора (последнее тривиально, поскольку А, не имеет индексов). Информация, содержащаяся в распределяется между упомянутыми выше двумя симметричными

спинорами. [Если говорить о компонентах, то имеются четыре независимые величины . Указанная информация разделяется между тремя независимыми величинами и одним скаляром

Вернемся теперь к общему случаю. Условимся ставить тильду между двумя спинорами в том случае, если их разность представима в виде суммы членов, каждый из которых является тензорным произведением -спиноров и спиноров, валентность которых ниже, чем у исходных спиноров. Ясно, что тильда обозначает отношение эквивалентности. Прежде всего заметим, что соотношение

справедливо для всякого Имеем

где число индексов равно так что правая часть содержит членов. Рассмотрим разность между первым и произвольным другим из этих членов, например:

ввиду (2.5.23). Производя подстановку из аналогичных уравнений для всех членов после первого в правую часть равенства (3.3.50), находим

Повторяя эти рассуждения, получаем

откуда следует (3.3.49).

Очевидно, что имеет место также и результат, получающийся из (3.3.49) после замены индексов штрихованными индексами. Таким образом, проводя наши рассуждения один раз для нештрихованных индексов и еще один раз для штрихованных индексов, мы убедимся в том, что произвольный спинор , отличается от своей симметричной частиц на сумму тензорных произведений -спиноров и спиноров более низкой валентности. То же самое утверждение справедливо и

для указанных спиноров более низкой валентности, и так далее. Таким образом, мы доказали следующее

Предложение:

Всякий спинор Равен сумме симметричного спинора и тензорных произведений -спиноров и симметричных спиноров более низкой валентности.

(Мы называем некоторый спинор симметричным, если, будучи записан только с нижними или только с верхними индексами, он является симметричным по всем своим нештрихованным и штрихованным индексам.)

Проиллюстрируем это двумя примерами. Напишем

и

Если у нас есть спинор, содержащий как верхние, так и нижние индексы, то ясно, что мы можем просто опустить все его индексы, а затем продолжать наши рассуждения. В связи с этим заметим, что симметричный спинор после поднятия некоторых его индексов принимает следующий вид:

Предложение:

Спинор , является симметричным тогда и только тогда, когда спинор симметричен по каждой из своих четырех групп индексов,

а всякая свертка по одной паре индексов равна нулю, для чего достаточно условий

Причина этого содержится в формуле (2.5.23): равенство нулю свертки, когда верхний индекс опущен, означает равенство нулю кососимметричной части, т. е. симметрию по двум соответствующим индексам.