Конформные плотности

Как отмечалось выше, спин-вектор имеет определенный геометрический смысл (флаг и флагшток), совершенно не зависящий от масштаба. Спин-ковектор со также имеет определенный геометрический смысл, хотя в этом случае интерпретация не является столь прямой (см., например, примечание на стр. 98 о геометрической интерпретации флагштока отвечающего спинору . С точки зрения конформной структуры спинор нельзя связать с соответствующим спин-вектором , ибо такое соотношение будет выполняться лишь с точностью до множителя. Естественный путь к интерпретации возникает из рассмотрения отображения для спин-вектора .

Предположим, что некоторый спин-вектор задан геометрически и потому не зависит от изменения масштаба:

Тогда для ассоциируемого с ним спин-ковектор а будем иметь

Следовательно, есть конформная плотность веса 1, т. е. величина, которая при конформном изменении масштаба (5.6.1) умножается на

Обратно, пусть задан фиксированный спин-ковектор , т. е.

Тогда

что представляет собой конформную плотность веса —1.

В общем случае удобно иметь дело с конформными плотностями произвольного веса. Будем говорить, что величина 0 является конформной плотностью веса если при конформном изменении масштаба (5.6.1) она преобразуется согласно соотношению

Можно рассматривать конформные плотности как функции не только точек многообразия но и некоторой выбранной метрики Обычно — целое или полуцелое число. Заметим, что величины имеют конформные веса 2, 1, 1, —1, —1, —2 соответственно. Следовательно, если спинорный индекс некоторой величины поднимается, ее конформный вес уменьшается на единицу; если же индекс опускается — конформный вес увеличивается на единицу (ср. величины Аналогично, при поднятии тензорного индекса конформный вес уменьшается на 2, а при опускании тензорного индекса — конформный вес увеличивается на 2.

Преобразование оператора

В данном параграфе мы подробнее остановимся на вопросе о конформной инвариантности. Система полей и полевых уравнений будет называться конформно-инвариантной, если всем полевым величинам можно приписать конформные веса таким образом, чтобы уравнения поля оставались неизмененными и после конформного изменения масштаба. Предварительно нам

необходимо рассмотреть поведение оператора ковариантной производной при конформном изменении масштаба. Так как величины и изменяются при этом преобразовании, их ковариантное постоянство до изменения масштаба будет приводить к иному условию для оператора после изменения масштаба. Таким образом, нам понадобятся два разных оператора и для которых

Будем предполагать, что в обоих случаях кручение отсутствует. На основании результатов гл. 4, § 4 находим [формулы (4.4.22),

где [формула (4.4.47)]

Далее, из (5.6.11) и (4.4.27) мы имеем

откуда

Но поскольку поле действительно, , а потому

Подставляя эти значения сначала в (5.6.13), а затем в (4.4.27), для спинора общего вида будем иметь

Отметим следующее важное обстоятельство: если спинор является заряженным полем, то все проведенные рассуждения остаются без изменений. Более того, если спинор имеет дополнительные янг-миллсовские индексы, это также не меняет выражения (5.6.15) и в нем не появляются какие-либо дополнительные члены.

Заметим, что если не пытаться выводить полученные выше соотношения, а ограничиться лишь проверкой их справедливости, то можно частично опустить выкладки, приводящие к формуле (5.6.12) с учетом формулы (4.4.47). Достаточно убедиться в том, что равенство совместно с выражением (5.6.14) ведет к уравнениям (5.6.11), причем в согласии с этим определением кручение, ассоциируемое с оператором равно нулю.

Отметим также, что соотношение (5.6.15) имеет место и в геометрии Вейля [192]; при этом на величину налагается лишь условие действительности, и она не обязана быть градиентом некоторой функции. В геометрии Вейля задана конформная структура (и, следовательно, спиноры), но нет выделенной метрики. Там имеется оператор ковариантной производной но его действие на метрику не обязательно дает нуль. Оператор определяет обычным образом параллельный перенос и позволяет проводить сравнение длин в разных точках. Однако такое сравнение зависит от пути, т. е. не является интегрируемой операцией. Если произвольно ввести некоторую метрику совместимую с конформной структурой, то найдем, что соответствующий кристоффелев оператор производной будет связан с оператором Вейля соотношением (5.6.15). Такой оператор «произволен» в том смысле, что для заданной метрики любой выбор приводит к соответствующей единственной связности Вейля

В качестве частного случая выражения (5.6.15) выведем закон преобразования ковариантной производной тензора при конформном изменении масштаба. Рассмотрим сначала случай ковектора

здесь мы просто применили соотношение (3.4.13) к двум последним слагаемым в первой строке. Чтобы перейти к общему случаю, введем тензор

Тогда можно переписать выражение (5.6.16) в виде

откуда находим [формулы (4.2.46) и (4.2.47)]

и в общем случае [формула (4.2.48)]

Эти формулы справедливы не только в случае незаряженных полей, но и в случае заряженных. Заметим, что тензорная форма (5.6.20) преобразования оператора более сложна, нежели спинорная (5.6.15), поскольку каждый -член фактически представляет собой три члена (5.6.17). Поэтому доказательства конформной инвариантности оказываются более простыми в спинорном формализме, нежели в тензорном.

Простой вывод преобразования кривизны при конформном изменении масштаба будет дан в гл. 6, § 8, а здесь мы приведем лишь основные соотношения [формулы (6.8.24), (6.8.25), (6.8.4)]

Последнее соотношение означает, что поле является конформно-инвариантным. Более того, как мы увидим в гл. 6, § 9, условие является необходимым и достаточным для того, чтобы многообразие М было (кусочно) конформно-плоским.