Некоторые полезные свойства вполне рефлексивных модулей

Условие того, что модуль — вполне рефлексивный, имеет множество важных и полезных следствий. Прежде всего сформулируем Предложение

Модуль, дуальный -модулю можно идентифицировать с причем требуемое скалярное произведение будет представлять собой свернутое произведение. (2.2.35)

Доказательство. Очевидно, что любым элементом определяется -линейное отображение [поскольку в силу формул и (2.2.30) мы имеем и Остается показать, что всякое -линейное отображение из получается именно таким путем с помощью элемента множества являющегося единственным. Для этого обратимся к формуле (2.2.14), определяющей элементы множества иными словами,

представим эти элементы в виде сумм тензорных произведений векторов. Любое -линейное отображение из в можно таким образом определить через его воздействие на те элементы множества которые оказываются тензорными произведениями векторов. Такое воздействие, конечно, должно быть -полилинейным отображением из в А к такому полилинейному отображению мы приходим с помощью единственного тензора что и дает требуемый результат.

При формулировке утверждений общего характера, касающихся тензоров, часто бывает полезно уметь компоновать тот или иной набор индексов в единое целое и записывать их как один собирательный индекс. Для таких собирательных индексов мы будем, как правило, использовать рукописные буквы. При желании можно компоновать вмерте верхние и нижние индексы и писать вместо них один собирательный. Например, нам могло бы понадобиться скомпоновать вместе один верхний индекс и два нижних индекса 0 и и записать их как один верхний собирательный индекс Эту операцию мы запишем как где звездочка указывает, что помеченный ею индекс находится в положении, противоположном положению индекса Тогда элемент принадлежащий, скажем, множеству можно обозначить через (Для непротиворечивости обозначений становится необходимым чередование индексов с пробелами; см. ниже Элемент принадлежащий множеству теперь запишется как . И вообще, — это элемент принадлежащий Операция свертки применима также и к собирательным индексам. Так, означает Если — еще один собирательный индекс, то это выражение можно переписать в виде Мы будем, как правило, избегать использования собирательных индексов, которые в неявном виде содержат один из свертываемых индексов. Например, символ мог бы обозначать элемент принадлежащий множеству однако свертка в нем скрыта из-за выбранного способа обозначений. Таким образом, если в одном выражении содержится набор собирательных и обычных индексов, то будет предполагаться (в отсутствие четко сформулированного утверждения или соглашения об обратном), что могут повторяться только те индексы, которые записаны в явном виде.

В предложении (2.2.35) можно положить Тогда из этого предложения следует, что для любого собирательного индекса модуль, дуальный модулю может

быть идентифицирован с Три нижеследующих предложения обобщают этот результат.

Предложение

Множество всех -билинейных отображений из может быть идентифицировано с — с отображениями, которые получаются с помощью свернутого произведения. (2.2.36)

Доказательство: Доказательство аналогично проведенному в (2.2.35). Любой элемент осуществляет такое -билинейное отображение, результатом которого для всяких будет [Заметим, что и аналогично для Чтобы показать, что всякое такое -билинейное отображение возникает именно этим путем из единственного можно представить виде сумм тензорных произведений векторов. Билинейное отображение определяется единственным образом через его воздействие на такие тензорные произведения векторов. Результатом этого воздействия будет -полилинейное отображение векторов. Таким образом, единственным образом определяется как тензор типа I.

Предложение:

Множество всех -линейных отображений из в может быть идентифицировано с причем отображения здесь достигаются с помощью свернутого произведения (2.2.37)

Доказательство: Любой элемент осуществляет -линейное отображение из причем образом элемента будет Наоборот, предположим, что имеется -линейное отображение Обозначим образ элемента при таком отображении через Тогда, для отображение, которое переводит пару является -билинейным отображением из . В результате мы на основании предложения (2.2.36) (при получим единственный элемент с для всех так что — один и тот же элемент модуля, дуального модулю Следовательно, клхл как и требовалось, и это отображение характеризует элемент единственным образом.

Следующее предложение содержит предложения (2.2.35) — (2.2.37) как частные случаи:

Предложение:

Множество всех -полилинейных отображений из может быть идентифицировано с модулем причем отображения достигаются с помощью свернутого произведения. (2.2.38)

Доказательство: Доказательство сводится просто к многократному использованию предложения (2.2.37). Если фиксировать элементы то мы будем иметь дело с -линейными отображениями из которые, согласно (2.2.37), фактически представляют собой элементы модуля Позволив теперь элементам изменяться, мы обнаружим, что -полилинейное отображение из эквивалентно -полилинейному отображению из в Повторяя эту процедуру для буквы , заменяемой последовательно буквами мы и получим требуемый результат.

В предложении (2.2.38) есть одна сторона, на которой имеет смысл остановиться подробнее. Поскольку никакие два различных элемента из не дают одно и то же отображение, мы имеем:

(см. скан)

В частном случае:

(см. скан)

Особенно полезен тензор 6 носящий название дельта-символа Кронекера [формула (2.1.9)]. В абстрактной форме его можно определить множеством различных способов. Например, отображение из которое паре ставит в соответствие скалярное произведение явно -билинейно, а значит, осуществляется некоторым тензором, который можно обозначить через Тогда формально определяется соотношением

Тензор еще можно определить как такой элемент модуля который осуществляет отображение из ставя в соответствие всякому элементу скаляр т. е.

[Оба определения дают один и тот же тензор , так как соотношение (2.2.41) есть частный случай равенства (2.2.42).] И еще, отображение из которым устанавливается канонический изоморфизм между этими множествами, тривиально -линейно, а значит, снова осуществляется тензором :

[Очевидно, что это та же самая кронекеровская дельта , ибо из (2.2.43) непосредственно следует (2.2.41).] Или мы могли бы использовать дуальный вариант соотношения (2.2.43). В самом деле, тензор осуществляет отображение из которым задается канонический изоморфизм

Разумеется, такой же тензор осуществляет и многие другие -линейные отображения, которые являются следствиями предыдущих; например, отображения которые выражаются соотношениями

[Эти выражения немедленно следуют из поскольку их можно свернуть с произвольным , а затем вычеркнуть ненужное в соответствии с (2.2.39).]