§ 4. Векторные расслоения

В своей книге мы все время подчеркиваем ту мысль, что алгебраические соотношения, которым удовлетворяют различные типы полей, составляют основу теории (алгебра абстрактных индексов и формальные правила для оператора V), тогда как геометрическая интерпретация этих объектов и операций вторична. Но в то же время часто бывает полезно иметь геометрическую картину, и в гл. 1 была принята именно такая геометрическая точка зрения на сами спиноры. Там мы останавливались, правда, не углубляясь в детали, на понятии векторных расслоений (гл. 1, § 5), которые используются при переходе от локального к глобальному описанию. Поскольку удается дать достаточно полную локально-геометрическую картину пространства спин-векторов, там мы могли до известной степени избегать описания с помощью расслоений. Однако в случае заряженных

Рис. 5.1. График некоторой функции

полей электромагнитной теории и тем более в случае «мультизаряженных» полей теории Янга — Миллса, к которой мы намереваемся перейти, геометрическое содержание теории трудно будет понять без обращения к теории расслоений. Поэтому здесь будет дано краткое изложение основных понятий этой теории.

Начнем с очень простого понятия графика функции. Рассмотрим действительнозначную функцию одной действительной переменной Обычно график некой функции строят, как показано на рис. 5.1, проводя горизонтальную ось вертикальную ось у и вычерчивая геометрическое место точек Предположим, однако, что мы имеем дело с «функциями» другого сорта, «значения» которых не просто числа и не обязательно сопоставимы при разных значениях аргумента х. Хорошим примером такой функции может служить функция, значениями которой являются касательные векторы в многообразии, т. е. эта функция — векторное поле. Таким образом, вместо оси х на рис. 5.1, изображающей мы будем представлять себе некоторое многообразие называемое базой (для определенности будем говорить о сфере Вместо оси у нам нужно что-то изображающее касательное пространство в типичной точке многообразия Но поскольку касательные пространства в любых двух не совпадающих точках многообразия вообще говоря, не находятся в каноническом соответствии одно другому, их следует представлять себе не как тождественные, а лишь как изоморфные пространства, называемые слоями, один слой для каждой точки Слой, соответствующий точке называется слоем над Р. Если график функции лежит просто в прямом произведении пространств то теперь наш график принадлежит более сложному пространству, называемому (в рассматриваемом примере) касательным расслоением многообразия Векторное поле на можно представить графиком, который называется сечением расслоения (рис. 5.2).

Касательное расслоение представляет собой лишь один (очень важный) пример векторного расслоения, в котором слои

Рис. 5.2. Касательное расслоение многообразия и одно из его сечений, представляющее векторное поле на

являются касательными пространствами в различных точках многообразия (и конечно, понятие расслоенных пространств приложимо и к пространствам базы, отличным от рассматриваемого нами пространства-времени). Другой пример — тензорные и спинорные расслоения; здесь сечениями являются элементы модуля или при некотором фиксированном т. е. все тензорные или спинорные поля, которые мы рассматривали до сих пор: их свойства можно было бы изложить, пользуясь теорией расслоенных пространств. Векторные расслоения над можно построить, выбирая в качестве слоев любые действительные или комплексные конечномерные векторные пространства (которые могут быть совершенно независимыми от касательного пространства к и от ассоциированных с ним спинорных пространств - например, пространство изотопического спина, обсуждавшееся в начале гл. 4, и «пространства цвета», часто рассматриваемые в современной физике элементарных частиц). Пространства в различных точках должны быть все изоморфны друг другу при одном важном дополнительном предположении: если говорить нестрого, эти векторные пространства должны «гладко соединяться» друг с другом (так, чтобы имело смысл говорить о «гладком» сечении). Таким образом, хотя нам и не требуется знать, какие элементы в различных слоях соответствуют друг другу, мы должны знать, какие элементы в соседних слоях «мало отличимы» друг от друга. В действительности каждая точка многообразия должна принадлежать некоторой открытой окрестности такой, что часть расслоенного пространства над гладко эквивалентна прямому произведению пространств, тогда как все расслоенное пространство может и не быть прямым произведением пространств. Пример такого нетривиального расслоения см. на рис. 5.3 ниже.