Спиновые системы отсчета и связанные с ними тетрады

Здесь мы не будем вникать в дифференциальные или глобальные свойства таких систем (спинорные производные отложим до гл. 4). Предметом нашего рассмотрения будет локальная алгебраическая структура, порождаемая наличием спинорной системы. Чтобы непосредственно увидеть, что «мировые векторы», возникающие при таком подходе, являются согласованными («изоморфными») с обычными мировыми векторами, возникающими в теории относительности, введем спиновую систему отсчета со стандартной нормировкой

Определим изотропную тетраду мировых векторов соотношениями

По отношению к нашей метрике все перечисленные векторы изотропны:

[К примеру, формула (2.5.41)]. Далее,

[например, тогда как другие скалярные произведения равны нулю:

Очевидно, что мировые векторы действительны,

а комплексно сопряжены.

Изотропная тетрада образует базис над причем дуальный базис имеет вид . Из (3.1.15) — (3.1.17) вытекает выражение

[являющееся прямым следствием (2.5.55) и (3.1.9); см. формулу (2.3.19) и последующие]. Данный базис в представляет собой базис, индуцируемый базисом [формула (2.3.18)].

Чтобы получить базис (над ) в из , нам нужны действительные мировые векторы. Поэтому следует разбить на действительную и мнимую части. Удобно также образовать линейные комбинации векторов и напишем

Обратные соотношения имеют вид

Из (3.1.15) -(3.1.17) и (3.1.19) вытекают соотношения ортогональности

и нормировки

Далее, (3.1.19) приводит к

Выписанные соотношения означают, что векторы действительно образуют базис над в , причем дуальный базис имеет вид По существу соотношения (3.1.22) и (3.1.23) идентичны условиям для тетрады Минковского. Положим

и для дуальных величин

Тогда компоненты тензоров в базисе и дуальном базисе в снлу формул (3.1.22), (3.1.23) будут иметь

Следовательно, в каждой точке у нас есть стандартное представление множества как векторного пространства Минковского, отнесенного к тетраде Минковского.

Заметим, что мы можем определить временную и пространственную ориентацию пространства приняв дополнительное предположение, что тетрада Минковского (3.1.20) — ограниченная (ср. гл. 1, § 1). (В § 2 мы будем использовать несколько отличный и более «инвариантный» подход.) Мы видели в гл. 2, в конце § 5, что замена одной спиновой системы отсчета другой, будучи произведена в одной точке, является результатом некоторого спинового преобразования, непрерывного с тождественным спиновым преобразованием. Это показывает, что получающиеся тетрады (3.1.20) все непрерывно переходят одна в другую — действительно, они связаны в каждой точке соответствующим ограниченным преобразованием Лоренца — поэтому получающиеся ориентации пространства являются внутренними ориентациями, не зависящими от выбора . Пусть Тогда в построенном выше базисе имеем

где

Поскольку теперь мы можем также отнести к спинорному базису

Сравнивая это с выражением (3.1.28) и воспользовавшись формулой (3.1.20), мы получаем после приравнивания коэффициентов при

Действием группы Лоренца на пространство можно преобразовать произвольный заданный изотропный вектор будущего в произвольный другой. Таким образом, если оказался изотропным вектором будущего, то подобно вектору (или ) выше [формула (3.1.14)] он представляет собой произведение некоторого спинора, скажем со своим комплексно сопряженным, так что имеет вид

Отсюда, положив

получим

а поэтому равенство (3.1.31) переписывается в виде

где введены обозначения

Соотношение (3.1.35) в точности совпадает с равенством (1.2.23), которое лежало в основе рассмотрения, проведенного в гл. 1. Отсюда вытекает, что если мы исходим из пространства-времени и его метрики и если удовлетворяет глобальным условиям, позволяющим строить спиноры, как мы делали это в гл. 1, то метрика получающаяся из алгебры этих спиноров по формулам (3.1.9), будет той же самой, что и первоначальная метрика