конусу
а действительная и мнимая части вектора та касательны к
в пространственноподобных направлениях, причем эти три вектора определяют касательные пространства к
Оставшийся тетрадный вектор
указывает направление, выходящее из
Тогда можно написать [формулы (4.11.6) и (4.11.9)]
В гл. 7, § 2 будет пояснено, что У описывает «чисто астигматическую» часть геодезического отклонения [138, 150, 161] изотропных геодезических на
Если присутствует материя, описываемая тензором энергии-импульса
то можно написать с учетом формул (5.10.23) и (4.6.25)
Следовательно, Ф характеризует «анастигматическую» часть геодезического отклонения. Оказывается, что в случае рассматриваемых здесь материальных полей величина Ф непосредственно определяется изотропными данными для этих материальных полей (в том числе, возможно, и производной в направлении вектора
. В частности, в силу формулы (5.10.24) для уравнений Эйнштейна — Максвелла имеем
где
— изотропное значение поля Максвелла. Таким образом, мы видим, что в общей теории относительности геометрия светового конуса
сама по себе определяется изотропными данными всех присутствующих полей.
В частном случае вакуумных уравнений Эйнштейна можно пойти дальше. Задание внутренней геометрии
тогда почти эквивалентно заданию изотропного значения V. (Правда, здесь имеется тонкость, связанная с тем, что внутренняя метрика на
имеет определитель, равный нулю, но это не опасно [1421.) Таким образом, можно сказать, что геометрия вакуумного пространства-времени М (которое аналитично) локально определяется внутренней геометрией светового конуса в любой заданной точке (событии) в М.
Характеристическая начальная задача для общей теории относительности также изучалась в случае пары пересекающихся изотропных гиперповерхностей
духе настоящего подхода, в котором гравитационные данные на
определяются изотропным значением
(а не сдвигом а, см. гл. 7 § 1, 2, или внутренней метрикой), нам нужно было бы задать V на каждой из гиперповерхностей
Но, кроме того, оказываются необходимыми данные на
имеющие форму
, о (если флагштоки спиноров
указывают
в направлениях образующих
соответственно), и дополнительно к внутренней метрике на
должна быть введена комплексная кривизна К, определенная выражением (4.14.20). Мы не будем углубляться здесь в эти вопросы далее.