Геометрия светового конуса

В случае гравитации изотропное значение функции Ч играет особую роль. Здесь мы лишь кратко коснемся этого вопроса. Более полное обсуждение будет основано на геометрии, которая будет введена в гл. 7. Выберем комплексный изотропный вектор ортогональный вектору действительной частью которого (пространственноподобной, длины вместе с вектором определяется полотнище флага в каждой точке конуса . В обычных обозначениях формализма изотропной тетрады (3 1.14) имеём Таким образом, тетрадный вектор указывает одно из изотропных направлений внутри (и ортогонален

конусу а действительная и мнимая части вектора та касательны к в пространственноподобных направлениях, причем эти три вектора определяют касательные пространства к Оставшийся тетрадный вектор указывает направление, выходящее из Тогда можно написать [формулы (4.11.6) и (4.11.9)]

В гл. 7, § 2 будет пояснено, что У описывает «чисто астигматическую» часть геодезического отклонения [138, 150, 161] изотропных геодезических на Если присутствует материя, описываемая тензором энергии-импульса то можно написать с учетом формул (5.10.23) и (4.6.25)

Следовательно, Ф характеризует «анастигматическую» часть геодезического отклонения. Оказывается, что в случае рассматриваемых здесь материальных полей величина Ф непосредственно определяется изотропными данными для этих материальных полей (в том числе, возможно, и производной в направлении вектора . В частности, в силу формулы (5.10.24) для уравнений Эйнштейна — Максвелла имеем где — изотропное значение поля Максвелла. Таким образом, мы видим, что в общей теории относительности геометрия светового конуса сама по себе определяется изотропными данными всех присутствующих полей.

В частном случае вакуумных уравнений Эйнштейна можно пойти дальше. Задание внутренней геометрии тогда почти эквивалентно заданию изотропного значения V. (Правда, здесь имеется тонкость, связанная с тем, что внутренняя метрика на имеет определитель, равный нулю, но это не опасно [1421.) Таким образом, можно сказать, что геометрия вакуумного пространства-времени М (которое аналитично) локально определяется внутренней геометрией светового конуса в любой заданной точке (событии) в М.

Характеристическая начальная задача для общей теории относительности также изучалась в случае пары пересекающихся изотропных гиперповерхностей духе настоящего подхода, в котором гравитационные данные на определяются изотропным значением (а не сдвигом а, см. гл. 7 § 1, 2, или внутренней метрикой), нам нужно было бы задать V на каждой из гиперповерхностей Но, кроме того, оказываются необходимыми данные на имеющие форму , о (если флагштоки спиноров указывают

в направлениях образующих соответственно), и дополнительно к внутренней метрике на должна быть введена комплексная кривизна К, определенная выражением (4.14.20). Мы не будем углубляться здесь в эти вопросы далее.