§ 4. Тензорное представление спинорных операций

Из способа построения алгебры мировых тензоров следует, что всякая операция на тензорах может рассматриваться как спинорная операция. Различие между двумя подходами чисто формальное и состоит в замене каждого тензорного индекса парой спинорных индексов. Таким образом, действия над тензорами могут рассматриваться как частный случай действий над спинорами определенного вида. Специфика тензорных операций в том, что в них на всем протяжении можно иметь дело только с парами спинорных индексов, причем каждая пара содержит один штрихованный и один нештрихованный индекс. Может показаться, что спинорная алгебра гораздо богаче, чем обычная тензорная алгебра, так как существует большое число спинорных операций, не имеющих на первый взгляд тензорных аналогов, например свертка двух спинорных индексов или перестановка пары спинорных индексов. В данном параграфе мы покажем, что такие операции, возникающие в спинорном формализме, на самом деле тоже имеют тензорные аналоги. Всякая алгебраическая спинорная операция и всякое алгебраическое спинорное уравнение имеют тензорные представления, по крайней мере точностью до знака. Преимущество спинорного формализма не в том, что он допускает более широкий класс операций, а в том, что в спинорном формализме усматриваются различные операции, которые в тензорном представлении выглядят исключительно сложно и потому тензорным формализмом не выявляются. Интересно, что некоторые из этих, казалось бы, «неестественных» в тензорном представлении операций в действительности часто используются в физических приложениях. Другой важный момент — то, что линейному спинорному уравнению часто соответствует нелинейное тензорное уравнение.

Обращение знака следа тензора

Прежде чем говорить об общем случае, остановимся на нескольких частных примерах. Рассмотрим произвольный симметричный (возможно, комплексный) мировой тензор

валентности

В спинорной форме равенство (3.4.1) принимает вид

что можно переписать как

Выражение в первых скобках симметрично по А, В и в силу равенства (3.4.2) симметрично также по А, В; второе слагаемое кососимметрично по А, В и в силу равенства (3.4.2) также по А, В. Двукратное применение формулы (2.5.23) к выражению во вторых скобках дает

где

[Разложение (3.4.4) есть частный случай разложения, полученного в § 3, см. формулу (3.3.56).] Можно переписать (3.4.4) как

Тензор действителен тогда и только тогда, когда действительны Тензор очевидно, симметричен и след его равен нулю:

(вследствие симметрии по А, В или по А, В). Мы называем бесследовой частью тензора . Из (3.4.7) и (3.4.6) получаем

Теперь можно рассмотреть операцию обращения знака следа, т. е. перехода к тензору, след которого имеет знак, противоположный знаку следа заданного тензора

Действительно, имеем

и в спинорной форме

Сравнивая это с (3.4.4), мы видим, что

Следовательно, в спинорном представлении тензора операция обращения знака следа реализуется перестановкой спинорных индексов А и В или, что эквивалентно, перестановкой индексов А и В.