Вариация оператора производной

Теперь предположим, что мы имеем другой оператор ковариантного дифференцирования для которого также выполняются соотношения (4.2.2) и (4.2.3). Рассмотрим разность между этим оператором и Для отображения

выполняется условие ввиду (4.2.2). Справедливо также соотношение которое следует из условия (4.2.3) и из того,

что рассматриваемые операторы должны совпадать на скалярах?

[формула (4.1.40)]. Следовательно, отображение (4.2.44) -линейно и в силу (2.2.37) имеем

для некоторого . И наоборот, если задан произвольный тензор и оператор ковариантной производной то любой оператор определенный как в (4.2.46), тоже будет оператором ковариантной производной.

Поскольку в силу равенства (4.2.45), из (4.2.5) получаем

Далее, любой тензор есть сумма прямых произведений векторов, а потому из правила Лейбница и условия линейности следует, что

Пусть и — тензор кручения и тензор кривизны, соответственно определенные с помощью оператора Имеем

откуда

Вычисление тензора проводится аналогично с использованием величины но выглядит несколько сложнее. Результат имеет вид

Особый интерес представляет случай, когда тензор теперь антисимметричен, и из (4.2.50) следует, что будет симметричным оператором. Таким образом, мы имеем каноническое правило, сопоставляющее любому оператору

ковариантной производной оператор симметричной ковариантной производной Имеем

Эту формулу можно использовать для альтернативного получения тождеств (4.2.39) и (4.2.43). Мы просто подставляем в более простые формулы (4.2.37) и (4.2.42), которые справедливы в случае нулевого кручения. Результат совпадает с (4.2.39) и (4.2.43) соответственно.

Пока что мы ничего не говорили о существовании оператора ковариантной производной на данном многообразии Можно доказать [102], что связность существует глобально на любом многообразии, которое, как в нашем случае, допускает топологию со счетным базисом. Если найдена одна связность, то все другие получаются из нее с помощью произвольных элементов так, как это описано выше. Нам не потребуются более глубокие теоремы существования, поскольку мы предположили, что допускает введение физической метрики, а метрика (любой сигнатуры) однозначно определяет симметричную связность [формула