Риманова геометрия

Рассмотрим следствия введения метрики на М. Метрика есть симметричный тензор валентности обозначаемый через который по определению не сингулярен, т. е. существует обратный тензор такой, что

Мы имеем

Пусть — произвольный контравариантный вектор, а — симметричный оператор. Тогда производная Ли вдоль равна

Повторная внешняя производная от равна

Оба эти выражения не зависят от связности. Складывая их, получаем

свертка этого выражения с дает

что также не должно зависеть от связности. Предположим, что симметричный оператор удовлетворяет требованию

Этим условием однозначно определяется оператор Действительно, выражение (4.3.45) не зависит от связности, следовательно, в нем можно заменить на

где др — произвольный симметричный оператор; в частности, это может быть оператор «производной по координатам», ассоциированный с локальными координатами Если перейти к компонентам, то выражение (4.3.47) имеет привычный классический вид ковариантной производной, записанной через символы Кристоффеля.

И наоборот, можно доказать, что существует симметричная связность удовлетворяющая требованию (4.3.46). Мы определяем (локально) выражением (4.3.47). Тогда мы имеем равенство вида (4.2.46), где и

Таким образом, в силу формул (4.2.48), (4.3.40) и (4.3.41) имеем

Симметричный оператор однозначно определяемый тензором будем называть ковариантной производной Кристоффеля. (Мы доказали, что она существует локально, но локальное существование вместе с единственностью означает глобальное существование.)

С помощью метрики индексы можно поднимать и опускать стандартным образом (гл. 3, § 1) (т. е. устанавливает канонический изоморфизм между Поскольку «ковариантно постоянна», операция поднятия и опускания индексов коммутирует с То есть

Наконец, вычислим кривизну, определяемую ковариантной производной Кристоффеля. Если опустить последний индекс в

то получим тензор Римана(-Кристоффеля)

(При принятом нами расположении индексов наше определение тензора Римана отличается знаком от определения, принятого в литературе. Его обычно используют в связи со спинорными разложениями.)

Действуя коммутатором производных на мы получаем в силу формул (4.3.46) и (4.2.33) и с учетом равенства нулю кручения

т. е. тензор антисимметричен по и Из (4.2.34) следует, что он также антисимметричен по а и Р; таким образом,

Используя (4.2.38), получаем

Из этих соотношений следует, что

Стало быть, тензор обладает также симметрией относительно перестановки пар индексов:

[Заметим, что для вывода равенства (4.3.56) достаточно использовать тождество вместо (4.3.53).] Ввиду симметрий (4.3.53) и (4.3.54) [а следовательно, и (4.3.56)] полное число независимых компонент тензора в каждой точке оказывается равным (см. стр. 187).

Тензор

называется тензором Риччи. В силу равенства (4.3.56) (и симметричности метрики) имеем

Тензор Риччи имеет независимых компонент в каждой точке. Скалярная кривизна дается выражением

Переписав тождества Бианки (4.2.42) в виде

и свернув их с мы получаем важное соотношение

В четырехмерном пространстве-времени это соотношение служит основой полевых уравнений Эйнштейна.