Об изотропной гиперповерхности

Пространственноподобные 2-поверхности играют важную роль в связи с фундаментальной теоремой внешнего исчисления в трех измерениях, а именно

где Р есть 2-форма, компактная 3-поверхность с пространственноподобной границей . В наиболее интересных

Рис. 4.3. Допустимый выбор поля спиновых систем отсчета на изотропной гиперповерхности для формулы (4.14.72).

приложениях теоремы (4.14.72) 2 есть часть изотропной гиперповерхности, т. е. 3-поверхности нормали. к которой есть изотропные векторы . Мы исследуем такие гиперповерхности подробнее в т. 2 (гл. 7, § 1, 2; см. также т. 1, гл. 5, § 11 и 12). Здесь мы только отметим, что векторы, касательные к образуют пространство, ортогональное вектору , и, следовательно, сам вектор принадлежит этому пространству. Более того, любой элемент 2-поверхности в ортогональный изотропному вектору , должен быть обязательно пространственноподобным, если только он не содержит сам вектор . В последнем случае он будет изотропным! Ситуация, которую мы рассматриваем, изображена на рис. 4.3, где состоит из двух замкнутых пространственноподобных :

Мы выбираем спиновую систему отсчета или, точнее, класс эквивалентности так, чтобы флагшток спинора И был направлен по нормали (и, следовательно, был касательным к что неявно подразумевалось при выборе буквы для обозначения этой нормали. Также считаем, Что касательные пространства на натянуты на векторы выбор — плоскостей во внутренней части поверхности — произволен, если не считать требования, чтобы они образовывали гладкое семейство (касательное к удовлетворяющее условйю гладкого сшивания с заданным

выбором плоскостей на граничных поверхностях и Для этого достаточно потребовать, чтобы плоскости были касательными к семейству пространственноподобных 2-поверхностей на которое гладко интерполирует между . Однако допустим более общий случай, когда внутренние элементы площади 89 локально не «интегрируются» в 2-поверхность (т. е. не образуют расслоение).

Разумеется, мы могли также выбрать флагшток спинора о (а не ) направленным по нормали (т. е. касательным) к Наш выбор связан с обозначениями, используемыми далее (гл. 5, § 12; гл. 9, § 10). Применяя операцию «штрих» к формулам (4.14.74) — (4.14.94), выводимым ниже, мы получим формулы, соответствующие такому выбору. Однако следует помнить, что это повлечет за собой изменение некоторых знаков, поскольку ориентации поверхностей 9 и 9" будут обращены [формула (4.14.73)].

Для наших целей важны коммутаторы, включающие которые проводят к операторам, действующим в касательном направлении к Таким образом, мы имеем соотношение (4.14.1), а также соотношение [формула (4.12.34)]

и комплексно-сопряженное соотношение. Отметим, что отсюда не следует равенство (поскольку это есть условие того, что элементарные площадки интегрируются в 2-поверхности), хотя по-прежнему справедливо равенство

так как коэффициент при в соотношении (4.14.1) обращается в нуль. По тем же причинам (4.14.74) дает

это означает (как мы увидим в гл. 7, § 1), что интегральные кривые поля — геодезические. Эти интегральные кривые мы будем называть образующими поверхности

Существенные компоненты величины в формуле (4.14.72) таковы:

В то же время любая 3-форма

ограниченная на имеет единственную существенную компоненту

Уравнение

ограниченное на после простых преобразований принимает вид

Отметим также, что уравнение

ограниченное на является обобщением равенства (4.14.57) и содержит компоненту -формы а

[как нетрудно убедиться, выражение (4.14.81) дает нуль при подстановке в него выражений (4.14.83), в соответствии с тождеством

Специализация фундаментальной теоремы внешнего исчисления для случая, представленного на рис. 4.3, получается подстановкой (4.14.81) и (4.14.83) в (4.14.72). Но более простое и более удобное выражение получается отделением самодуальной и антисамодуальной частей величины Р [формула (3.4.17)]:

и введением следующих величин:

Переход к не приводит к потере существенной информации, поскольку произвол в выборе (при заданных и ) состоит в добавлении величин, пропорциональных соответственно, что отвечает добавлению к слагаемых, равных нулю на Фактически мы имеем

а потому выражение (4.14.81) дает с учетом (4.14.79)

В приложениях формулы (4.14.72) нам понадобится интерпретировать интегралы по 3-поверхности с использованием введенных величин. Для этого рассмотрим гладкую параметризацию каждой образующей поверхности с помощью параметра и, согласованного с выбором так, что выполняется соотношение

В конкретных представлениях изотропной тетрады можно положить но здесь мы примем, что есть скаляр типа Из (4.14.88) следует, что отличается от слагаемыми, пропорциональными тит. Поэтому для изотропного элемента «объема» поверхности мы получаем 3-форму типа

Из (4.14.79) следует, что

Если мы теперь подставим (4.14.80) и (4.14.66) в (4.14.90), 44.14.72) и (4.14.73), то получим

где у — та же величина, что и в (4.14.87) (величина типа а величины выбраны как в (4.14.86). Можно разделить это выражение на два — одно для а другое для ; если — действительная величина, то они будут комплексно сопряжены. Записывая -уравнение, мы получаем с использованием -скаляра и -скаляра

и соответствующее комплексно-сопряженное соотношение для Да. Отметим, что если, в частности,

то мы имеем «закон сохранения»

Эти соотношения будут весьма важны для нас далее (гл. 5, § 12; гл. 9, § 9).