Единственность

Перейдем к вопросу о единственности оператора спинорной ковариантной производной, удовлетворяющего указанным требованиям. Обозначим через V и два таких оператора и рассмотрим отображение

Тогда [аналогично отображению (4.2.44)] это отображение будет -линейным в силу соотношений (4.4.8) и (4.4.9) и того, что операторы и при действии на скаляры совпадают:

Таким образом, существует элемент такой, что

Поскольку в силу равенства (4.4.22), мы имеем с учетом (4.4.23)

Выполнив комплексное сопряжение в (4.4.23) и (4.4.24), получим

Следовательно, для произвольного спинора

Теперь рассмотрим специальный случай, когда есть мировой вектор Получаем

где

есть величина, определенная аналогично соответствующей величине в формуле (4.2.46). Ввиду (4.2.50) разность двух тензоров кручения определенных операторами и соответственно [причем , и аналогично для ], дается формулой

с величиной из формулы (4.4.29).

Далее, рассмотрим производную от Имеем

Если потребовать, чтобы при действии операторов спинор был ковариантно постоянным, т. е. выполнялись условия

то тензор вдлвс Должен быть симметричным по В, С:

Поскольку в силу формулы (4.4.29) мы имеем

из равенства (4.4.34) следует антисимметрия

[Более прямое доказательство антисимметрии таково: где использованы формулы (4.4.32), (4.4.33) и равенство

Если оператор симметричен, а оператор ковариантна постоянен по отношению к то кручение оператора дается выражением

Это выражение используется в теории Эйнштейна — Картана — Шьямы — Киббла (§ 7).

Теперь мы можем показать, что существует единственный оператор для которого тензор ковариантно постоянен [формула (4.4.32)], а кручение Таьс равно нулю, т. е.

В самом деле, второе требование означает (в тех же предположениях для оператора ), что тензор симметричен по [формула (4.4.30)], а первое — что он кососимметричен по и С [формула (4.4.36)]. Таким образом, из формулы (3.3.17) следует, что Отделив часть, симметричную по В и С, и используя (4.4.34), мы получаем условие единственности что и требовалось.

В следующей главе мы будем рассматривать заряженные поля и конформные преобразования. В связи с этим представ ляет интерес вопрос о неоднозначности оператора удовлетворяющего только одному из двух указанных требований, а именно требованию равенства нулю кручения [формула (4.4.38)], не не удовлетворяющего требованию ковариантного постоянства тензора Если оба оператора симметричны (т. е. если их крученич одинакоры), то в силу формулы (4.4.29) и симметрии -Оьас, которая следует и: формулы (4.4.30), имеем

Симметризуя по A, В, С и сворачивая с получаем

Вспомнив формулу (3.3.49), получим, что имеет вид

На основании тождества (2.5.20) можно переписать последнее слагаемое в виде что дает нам соотношение

Теперь, если мы симметризуем (4.4.39) по А, С и по А, С, то после подстановки (4.4.42) получим

откуда при использовании формулы или сворачивании с вытекает равенство

Следовательно, — чисто мнимый вектор, скажем где — действительный вектор. Аналогично, симметризуя (4.4.39) по А, С и по после подстановки (4.4.42) получаем

Путем рассуждений, аналогичных предыдущим, находим

т. е. Та — действительный вектор. Соберем полученные соотношения вместе:

Эта формула дает полное решение задачи, так как, подставив (4.4.47) в (4.4.39), мы найдем, что это соотношение выполняется тождественно. Как мы увидим в (5.6.14), величина возникает в связи с преобразованием ковариантной производной при конформном изменении масштаба. Величина исторически ассоциировалась с вектором электромагнитного потенциала [95]. Но мы дадим иное истолкование этого вектора в гл. 5, § 1.