Модифицированные уравнения

Перепишем уравнения (4.11.12) для спиновых коэффициентов, пользуясь операторами (4.11.15). В результате спиновые коэффициенты исключаются из уравнений, поскольку входят в определение модифицированных дифференциальных операторов. Из уравнений (4.11.12а) — (4.11.12е) мы получаем соответственно

Используя операцию «штрих», мы получаем из этих уравнений, еще шесть уравнений, эквивалентных уравнениям (4.11.12а) —

Остальные уравнения (4.11.12) содержат производные от спиновых коэффициентов, которые не являются взвешенными величинами. Следовательно, в нашем формализме они не могут быть записаны в виде, аналогичном (4.12.32). Вместо этого их следует рассматривать как уравнения для коммутаторов дифференциальных операторов . Считая, что коммутаторы действуют на получаем

Остальные коммутаторы получаются из (4.12.34) путем операции комплексного сопряжения, операции «штрих» или обеих названных операций. Отметим, что тип скаляра явно входит в правую часть этих уравнений. Поэтому при вычислении действия указанных операций следует быть осторожным, учитывая, что тип скаляра не совпадает с типом скаляра При действии операции «штрих» тип переходит в так что принимает значение — значение при сопряжении тип переходит в (если считать, что и т. д. — действительные числа), так что переходит в и наоборот; при действии обеих операций тип переходит в принимает значение — значение

Рассмотренные уравнения для коммутаторов — это случай, когда модифицированный формализм приводит к более сложным соотношениям, чем первоначальный формализм спиновых коэффициентов. Такова, по-видимому, плата за существенные формальные упрощения в остальных уравнениях. Следует, однако, помнить, что коммутаторы несут информацию, проистекающую из двух разных мест в формализме спиновых коэффициентов. Кроме того, мы имеем преимущество геометрического истолкования коммутаторов в модифицированном формализме: дополнительные слагаемые, которые возникают при или иногда можно интерпретировать, связывая их с кривизной подмногообразий в пространстве-времени. В случае коммутатора (4.12.35) мы увидим это явно в формуле (4.14.20) ниже.

Полные тождества Бианки (4.10.6) выглядят достаточно

сложно в формализме спиновых коэффициентов, но замечательно упрощаются в модифицированном формализме, и мы приводим только эту форму их записи. Для получения требуемых уравнений достаточно взять компоненты тензора (4.10.6) и использовать формулу (4.12.27). Получаем

а также уравнения, получающиеся отсюда с помощью операции (4.5.17). Уравнения (4.12.40) и (4.12.41) эквивалентны свернутым тождествам Бианкн (4.10.8). [Вообще говоря, уравнения вида (4.12.40) и (4.12.41) выражают «закон сохранения» для произвольного симметричного тензора с двумя индексами. Если пространство-время описывается вакуумными уравнениями Эйнштейна, то П и все Ф в уравнениях (4.12.32) — (4.12.35) равны нулю; и наоборот, эти уравнения с П и Ф, равными нулю, характеризуют вакуумные решения уравнения Эйнштейна и могут использоваться для нахождения таких решений. Тождества Бианки (4.12.36) — (4.12.39) в этом случае замечательно упрощаются; в частности, уравнения (4.12.40) и (4.12.41) удовлетворяются тождественно. Уравнения (4.12.36) — (4.12.39) в этом случае замечательно упрощаются; в частности, уравнения (4.12.40) и (4.12.41) удовлетворяются тождественно. Уравнения (4.12.36) — (4.12.39) при будут частным случаем уравнения (4.10.9) — полевого уравнения для частицы с нулевой массой покоя [см. формулу (5.7.2) ниже]:

где самом деле, полагая

мы получаем в силу формул (4.12.27)

а также их штрихованные варианты. [Множитель в определении величин здесь не играет роли ввиду равенств (4.12.23).] Как мы увидим в гл. 5, § 1, уравнения Максвелла в пустом пространстве также являются частным случаем уравнения (4.12.42), а следовательно, могут быть записаны в форме (4.12.44) при Определенный интерес представляет запись конформно-инвариантного волнового уравнения (гл. 6, § 8) в модифицированном формализме спиновых коэффициентов, которая получается из соотношения

и твисторного уравнения (гл. 6, § 1)

Формализм спиновых коэффициентов допускает дополнительную симметрию, которая впервые была обнаружена Саксом [162, 163]. Рассмотрим операцию, обозначаемую символом «звездочка»:

так что

Эта операция не изменяет

и соответственно соотношения ортогональности для тетрады (4.5.20). Очевидно, что операция не коммутирует с комплексным сопряжением. Однако в случае действительных и мы имеем

где скаляр типа . Если скаляр типа то скаляр типа

Из формул (4.5.21), (4.12.20), 4.11.6), (4.11.7) и (4.11.8) соответственно получаем

Операция «звездочка» переводит уравнения в нашем списке (4.12.32) друг в друга, то же происходит с уравнениями (4.12.36) также с уравнениями для коммутаторов (4.12.33) — (4.12.35). Эту операцию совместно с операцией «штрих» можно использовать для упрощения процедуры получения уравнений, а также для проверки уравнений, полученных другим способом.