Двойные отношения изотропных направлений

Имея в виду будущее применение (в гл. 8 тома 2), мы завершим данный параграф изложением некоторых довольно специфических результатов для двойных отношений.

Хорошо известно (и это нетрудно проверить), что двойное отношение

четырех точек аргандовой плоскости инвариантно относительно дробно-линейных преобразований. В однородных координатах имеем

Теперь легко видеть, что

Следовательно, может быть не больше шести различных значений двойного отношения четырех точек, взятых во всевозможных последовательностях, и эти значения таковы:

Когда совпадают две и только две из величин , величина вырождается в 1, 0 или При тройном и четырехкратном совпадении отношение становится неопределенным.

Двойное отношение, четырех действительных изотропных направлений определяется двойным отношением (1.3.9) четырех соответствующих точек аргандовой плоскости. Легко видеть [это устанавливается путем перемены местами величин в формуле (1.3.10)], что

и, следовательно, небесное и антинебесное отображение дают двойные отношения, комплексно-сопряженные друг другу, поскольку отображения заданных изотропных направлений на сферы суть соответственно.

Зная любые три из несовпадающих комплексных чисел и приписывая произвольное значение двойному отношению (1.3.9), можно однозначно определить четвертое число (считая одним числом). Как следствие получаем, что любые четыре различных изотропных направления (точки на путем подходящего ограниченного преобразования Лоренца (дробно-линейного преобразования) могут быть переведены в любые другие четыре изотропных направления (точки), имеющие то же

самое двойное отношение; в справедливости данного утверждения убеждаемся на том основании, что любые три из изотропных направлений могут быть указанным образом отображены на любые другие три несовпадающих изотропных направления, после чего четвертое направление однозначно определится инвариантным двойным отношением.

Если двойное отношение (1.3.9) — действительная величина, то все четыре рассматриваемые точки лежат на одной окружности (или коллинеарны) в аргандовой плоскости. Это эквивалентно утверждению, что четыре соответствующие точки на римановой сфере лежат на одной окружности и, следовательно, компланарны. Итак, для того чтобы четыре изотропные линии принадлежали одной действительной гиперплоскости

должно быть действительным их двойное отношение. Частный случай — гармоническое семейство, двойное отношение для которого равно —1, 2 или 1/2. Одно гармоническое семейство в аргандовой плоскости задается вершинами квадрата следовательно, эти же точки на экваторе римановой сферы соответствуют семейству гармонических изотропных направлений. В силу сказанного выше всякие четыре гармонических изотропных направления могут быть преобразованы в указанные гармонические изотропные направления путем соответствующего ограниченного преобразования Лоренца.

Интерес представляет также эквиангармоническое семейство, обладающее еще большей внутренней симметрией. В этом случае двойное отношение равно или причем Путем подходящего ограниченного преобразования Лоренца четыре такие точки на римановой сфере могут быть переведены в вершины правильного тетраэдра. Это следует из того, что при всех Я семейство точек является эквиангармоническим на плоскости, а при некотором подходящем действительном К оно, очевидно, проектируется в вершины правильного тетраэдра.

Геометрический смысл двойного отношения можно пояснить следующим образом.

Рассмотрим произвольные четыре несовпадающих действительных изотропных вектора А, В, С, D и обозначим символом плоскость, задаваемую векторами А и В. Пусть — единственная времениподобная плоскость, содержащая по одному вектору из и и по одному перпендикуляру к и Для удобства вычислений предположим, что и есть плоскость векторов и и что . Единственные содержащиеся в векторы, нормальные к векторам А и В, есть соответственно; следовательно, Если содержит вектор из то Поскольку А и В — изотропные и несовпадающие векторы, получаем аналогичный вывод справедлив для векторов С и Следовательно, каждая из рассматриваемых нами пар на римановой сфере представлена парой точек, имеющих одну и ту же широту, но расположенных на противоположных меридианах. Имеется только одно ограниченное преобразование Лоренца, которое осуществляет перевод и сохраняет плоскость тем самым ее изотропные направления, соответствующие северному и южному полюсам). Очевидно, что таким преобразованием является вращение (1.2.30) вокруг оси выполненное после буста (1.2.38) вдоль оси

где . Если — точки комплексной плоскости, соответствующие векторам , то далее, если соответствуют векторам то Следовательно,

Величину

можно назвать комплексным углом между действительными плоскостями и и мы видим, что эта величина однозначно определяется двойным отношением с точностью до знака и модуля зависящего от способа перевода векторов друг в друга или иначе). Геометрический смысл комплексного угла заключается в том, что скости и «различаются» лоренцевым преобразованием, состоящим из вращения на угол относительно плоскости и буста с быстротой в плоскости , причем есть однозначно определенная «нормаль» к плоскостям в указанном выше смысле.