§ 3. Некоторые свойства преобразований Лоренца

Многие хорошо известные свойства вращений и преобразований Лоренца можно просто вывести, исходя из соответствия между ограниченной группой Лоренца и группой спиновых преобразований. Покажем, как это делается.

Очевидно, что в случае унитарности спинового преобразования (1.2.16) соотношение (1.2.17) дает

Неподвижные (т. е. удовлетворяющие условию точки задаются уравнением

Ясно, что если — один из корней этого квадратного уравнения, то есть его другой корень. Следовательно, неподвижные точки имеют вид соответствующий диаметрально противоположным точкам на сфере [формула (1.2.11)]. Это является еще одним доказательством того положения, что всякое вращение сферы эквивалентно вращению вокруг некоторой одной оси.

Окружность на сфере определяется как пересечение сферы с некоторой плоскостью в евклидовом 3-пространстве задаваемой действительным линейным уравнением Подставив сюда (1.2.8), получим (при условии уравнение вида — комплексное), т. е. Это — уравнение окружности в аргандовой плоскости с центром в точке х и радиусом Когда (т. е. когда исходная окружность проходит через северный полюс на сфере мы получаем уравнение прямой на аргандовой плоскости. Итак, мы установили хорошо известный факт, что в случае стереографической проекции окружности на сфере переходят в окружности или прямые на плоскости и наоборот, поскольку приведенные выше рассуждения обратимы.

В предыдущем параграфе мы показали, что всякое спиновое преобразование может быть составлено из преобразований, которые либо порождают вращение сферы либо сводятся к простым растяжениям аргандовой плоскости. Ясно, что первый тип преобразований сохраняет окружности на тогда как второй сохраняет окружности или прямые на аргандовой плоскости. Из проведенных выше рассуждений вытекает, что всякое спиновое преобразование приводит к преобразованию на переводящему окружности в окружности [это хорошо известное свойство дробно-линейных преобразований (1.2.17) римановой сферы, которое легко доказывается прямым путем],

Всякое преобразование, сохраняющее окружности, должно быть конформным преобразованием (т. е. преобразованием, сохраняющим углы). Это утверждение основано на том, что бесконечно малые окружности должны преобразовываться в бесконечно малые окружности, а не в эллипсы. Обратно, мы можем прямым путем убедиться в конформном характере стереографической проекции, заметив, что квадрат интервала на сфере связан с квадратом интервала на аргандовой плоскости соотношением

вытекающим из (1.2.8). Конформный же характер дробно-линейного преобразования может быть установлен на основе того

простого факта, что оно является голоморфным (т. е. комплексным адалитическим) преобразованием; действительно, в последнем случае из вытекает Очевидно, что как следствие из всего этого преобразование Лоренца порождает изотропное расширение и вращение окрестности каждой точки на сфере

Следствиями описанных выше свойств конформности и сохранения окружностей являются хорошо известные, но вместе с тем вызывающие удивление спецрелятивистские эффекты, называемые иногда эффектами «ненаблюдаемости лоренцева сокращения». Рассмотрим наблюдателя в точке О. Как отмечалось ранее, его поле зрения, или небесная сфера, может быть в соответствии с нашей договоренностью представлено римановой сферой Всякий луч света, входящий в его глаз, можно для удобства представить изотропной прямой, проходящей через точку О, и, следовательно, единственной точкой на его небесной сфере (небесное отображение). Сфера связана с отображением, переводящим каждую точку в диаметрально ей противоположную. Таким образом, всякое ограниченное преобразование Лоренца на V порождает конформное отображение небесной сферы на себя, сохраняющее окружности. Из свойства конформности вытекает, что объект, рассматриваемый заданным наблюдателем под небольшим углом, будет иметь ту же самую форму для любого другого наблюдателя, мгновенно совпадающего с первым, хотя бы он и двигался относительно первого наблюдателя с некоторой скоростью [178]. Для двух таких наблюдателей в общем случае будут разными только видимый угловой размер и направление. Более того, из свойства сохранения окружностей вытекает, что если один инерциальный

наблюдатель воспринимает очертания объекта любых размеров как окружность, то и все инерциальные наблюдатели, мгновенно совпадающие с первым, будут воспринимать очертания этого объекта как окружность (или, в частном случае, «прямолинейные» очертания, отвечающие большому кругу на небесной сфере, который кажется «прямой» линией). В-частности, очертания равномерно движущихся сфер, несмотря на лоренцево сокращение, для всех наблюдателей представляют собой окружности [133].

Дробно-линейное преобразование римановой сферы полностью определяется заданием произвольных трех разделенных точек на сфере как образов произвольных других трех разделенных точек на этой сфере. Этот хорошо известный факт является простым следствием (1.2.17). (Преобразование определяется тремя комплексными отношениями которые, в свою очередь, задаются тремя комплексными уравнениями.) Мы получаем, что всякое ограниченное преобразование Лоренца полностью определяется заданием (различных) отображений трех различных разделенных изотропных направлений. (Таким образом, путем выбора только своей скорости и ориентации наблюдатель может добиться, чтобы любые три звезды оказались в трех наперед заданных точках на его небесной сфере.)

Далее, всякое дробно-линейное преобразование (1.2.17), а не только частный случай (1.3.1) (не считая тождественного преобразования), допускает две и только две неподвижные точки, которые могут совпадать на римановой сфере; это следует из соотношения (1.2.17), если положить в нем и решить получившееся квадратное уравнение. Стало быть, всякое (нетривиальное) преобразование Лоренца оставляет неизменными два и только два (возможно совпадающих) изотропных направления.