Фоновые поля

Обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара (5.12.6) может также применяться в несколько иных ситуациях. Например, можно предположить, что М - плоское или конформно-плоское пространство-время и что (этого достаточно для первой части доказательства) уравнение поля (5.12.3) или выполняется лишь в некоторой окрестности части гиперповерхности Ф, которая связывает два ее поперечных сечения (как показано на рис. 5.5). Представим себе, например, ситуацию, когда мировая трубка источников поля пронизывает область как показано на рис. 5.7. Интеграл (5.12.6) еще можно вычислить осмысленным образом, что дает, скажем, спинор в точке Р. В общем случае спинор не будет совпадать с в точке Р. Действительно, если точка Р лежит на мировой линии точечного источника, то спинор вовсе не будет определен. Но спинор не будет зависеть от положения сечения до тех пор, пока можно непрерывно перемещать по любой области не пересекающей источников (и других областей, где спинор определен). Мы можем рассматривать как фоновое поле в точке -Р, причем вклад источников, окруженных поверхностью удален. В зависимости от того, лежит ли на световом конусе прошлого или будущего события Р, можно назвать поле запаздывающим или опережающим фоновым полем в точке Р.

Рис. 5.7. В случае поверхности, окружающей мировую трубку источников, обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара дает фоновое поле в точке Р.

Такой подход целесообразен, например, в классической электродинамике при анализе силы Лоренца, приложенной к точечному заряду. Некоторое представление о фоновом поле здесь необходимо, поскольку полное поле стремится к бесконечности в точке нахождения заряда. В стандартной процедуре Дирака [47] используется фоновое поле, равное полусумме определенных нами выше запаздывающего и опережающего фоновых полей. Однако в учебниках чаще прибегают к «перенормировке», позволяющей устранить расходящуюся часть полного поля в точке нахождения заряда. Подход, указанный нами выше, ведет к тому же результату [184], но более прямо: никакие расходящиеся выражения вообще не возникают ни на какой стадии вычислений.

Есть еще одно, более необычное приложение такого подхода когда сама точка Р не существует (или может становиться в определенном смысле сингулярной точкой пространства-времени). Если пространство-время М асимптотически плоское (но не конформно-плоское), то обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара фактически может применяться и тогда, когда

полноотью лежит на бесконечности. В этом случае мы получаем так называемые константы Ньюмена — Пенроуза для безмассового поля со спином , о чем будет сказано в гл. 9, § 10.