§ 7. Спинорная формулировка теории Эйнштейна — Картана—Шьямы—Киббла

В данном параграфе мы рассмотрим модификацию теории Эйнштейна, формулировка которой принадлежит Эйнштейну и Картану [28], а в более явной форме — Шьяме [167] и Кибблу [98] (см. также [90, 182]). В этой теории тензор кручения связывают с определенным тензорным выражением, описывающим вклад спиновой плотности материи. Мы не станем обсуждать физическую значимость этой теории или сравнивать ее с

теорией Эйнштейна, а рассмотрим лишь ее спинорную формулировку. В теории ЭКШК — в отличие от единых теорий поля — пространство-время описывается действительной симметричной метрикой что позволяет использовать наш формализм 2-спиноров. Ее отличие от общей теории относительности состоит в природе оператора ковариаитной производной V». Условие ковариантного постоянства метрики сохраняется:

однако тензор кручения отличен от нуля, так что [формула (4 2 22)]

Кручение пространства-времени выражается через спиновую плотность материи следующим образом:

где удовлетворяет условию

а как прежде, — ньютоновская гравитационная постоянная. Из (4.7.3) получаем

Следовательно, (4.7.3) можно обратить:

Это уравнение рассматривают совместно с полевыми уравнениями Эйнштейна

(тензор энергии-импульса мы обозначили через поскольку символом Таьс обозначено кручение). Здесь говоря, несимметричный) тензор Риччи определенный как

а тензор кривизны определяется по в соответствии с (4.2.32). Из (4.7.1) и рассуждений § 2 следует, что сохраняется свойство симметрии

но теперь

а потому перестановочная симметрия нарушается, что является причиной нарушения симметрии тензора Отсюда следует, что тензор энергии-импульса тоже не будет симметричным [формула (4.7.7)]. Из (4.7.10) следует «закон сохранения спина»:

Чтобы получить спинорное представление спиновой плотности, мы воспользуемся равенством (4.7.4) и введем спинор

так что

Кручение выражается через этот спинор довольно громоздкой формулой

Однако эквивалентная информация содержится в тензоре который можно использовать в соответствии с (4.2.46) для перехода от к стандартному оператору производной Кристоффеля

где — оператор, удовлетворяющий требованию (4.7.1), но имеющий нулевое кручение. Как и в (4.4.37), имеем

в силу (4.2.50) или (4.4.30). Более того, из (4.7.1) и аналогичного уравнения для оператора с тильдой получаем

Последними двумя равенствами однозначно определяется в виде

К сожалению, переход в (4.7.11) к оператору за счет использования тензора не приводит к уравнению, содержащему только дивергенцию величины

В спинорном формализме роль играет величина [формула (4.4.23)], симметрия которой следует из того, что тензоры и ковариантно постоянны, как это было показано в формулах (4.4.32) — (4.4.34). Напомним соотношение между и 0, полученное в (4.4.35):

Подставив (4.7.14) и (4.7.19) в (4.7.18), получим после некоторых преобразований исключительно простое сооотношение

Его можно получить непосредственно из (4.4.37). На основании равенства (4.7.20) можно связать стандартный тензор Римана — Кристоффеля стандартный (симметричный) тензор Риччи с тензорами используя (4.2.51). Отметим также, что (4.7.20) можно переписать в виде

Спиноры могут эффективно использоваться и при изучении тензора кривизны более общего типа, чем тот, который рассматривался здесь. Кососимметричная часть тензора Риччи может быть представлена, как в (3.4.20), с помощью спинора Остальная информация, содержащаяся в может быть выражена через соответствующий «спинор Вейля» и две комплексные величины . При спинор обращается в нуль, а остальные спиноры совпадают со стандартными величинами, определенными в § 6. Здесь не будем на этом останавливаться (см. [145]).