Свойства комплексных изотропных векторов

Вернемся к представлению (3.2.6) произвольного отличного от нуля комплексного изотропного вектора парой спин-векторов. Прежде всего заметим, что для заданного вектора разложение однозначно с точностью до преобразований

Действительно, если то свертка с даст цака так что в силу (2.5.56) спин-векторы и должны быть пропорциональны друг другу. Аналогично этому, должны быть пропорциональны и . Отсюда вытекает, что комплексный изотропный вектор определяет упорядоченную пару действительных изотропных направлений (не обязательно различных), т. е. двух точек сферы а именно тех точек, которые задаются флагштоками соответственно. Вектор комплексно-сопряженный вектору определяет ту же самую пару изотропных направлений (точек сферы но в обратном порядке Эти два изотропных направления совпадают тогда и только тогда, когда отличается от действительного вектора комплексным множителем. Обратно, данная упорядоченная пара действительных изотропных направлений в достаточно общем случае определяет комплексный вектор с точностью до пропорциональности.

Некоторые свойства комплексных изотропных векторов могут быть легко получены из (3.2.6). К примеру, если два комплексных изотропных вектора ортогональны,

то это означает, что могут быть одновременно представлены в виде либо одновременно представлены в виде Отсюда вытекает, что если три комплексных изотропных вектора, ортогональные друг другу, то они должны быть линейно зависимы. Действительно, все они должны одновременно представляться либо в виде

либо в виде комплексно-сопряженных выражений. Без ограничения общности положим, что справедливы выражения (3.2.23). Ввиду двумерности спинового пространства должно иметь место линейное соотношение в котором среди есть отличные от нуля. Итак, в силу

Но допустим, что каждый из комплексных изотропных векторов и ортогонален комплексному изотропному вектору , а не ортогональны друг другу. Тогда указанные векторы должны либо иметь вид

либо представляться комплексно-сопряженными выражениями. Отсюда вытекает, что существует единственный комплексный изотропный вектор , ортогональный каждому из векторов и и удовлетворяющий условию Действительно, предполагая без потери общности, что выполняется именно условие (3.2.24), мы можем положить единственность чего устанавливается просто.

Линейное множество комплексных изотропных векторов вида где спинор фиксирован, а спинор может изменяться, дает способ представления спин-вектора (с точностью до пропорциональности) в рамках комплексного подхода. В некоторых случаях (например, в некоторых разделах теории твисторов, см. гл. 6, § 2; гл. 7, § 3 и 4; гл. 9, § 3) бывает существенно проводить исследование в комплексных величинах, не вводя понятия действительности или комплексного сопряжения. В таких случаях представление спин-вектора линейным множеством комплексных изотропных векторов становится более удобным, чем представление его одним (действительным) изотропным вектором, а именно его флагштоком, поскольку последний способ описания нуждается в понятии комплексного сопряжения. В то же время, в указанных случаях мог бы быть полезным комплексный изотропный бивектор Мы не задаемся здесь целью развивать эту мысль дальше, за исключением одного: ее связи со структурой комплексифицированной 2-сферы.

Выше мы видели, что всякое комплексное изотропное направление может быть представлено упорядоченной парой точек на сфере с топологической точки зрения 2-сфере . Если мы не хотим вводить понятие действительности, то (поскольку совпадение упомянутых двух точек означает действительность изотропного направления) на самом деле мы должны рассматривать такие две точки, каждая из которых лежит на отдельной сфере Таким образом, пространство комплексных изотропных направлений в точке имеет структуру топологического произведения Точки первой сферы суть спин-векторы с точностью до пропорциональности, а точки второй сферы суть сопряженные спин-векторы с точностью до пропорциональности, причем упомянутые спин-векторк задают требуемые изотропные направления посредством соотношения Поскольку действительные изотропные направления в точке образуют конформную сферу мы можем сказать, что комплексные изотропные направления образуют комплексифицированную сферу. Проведенные выше рассуждения показывают, что указанная комплексифицированная сфера обладает структурой Когда точка одной из сфер фиксирована, а другая может изменяться, мы получаем с точностью до пропорциональности одно из рассмотренных выше линейных множеств (связанное с или с называемое генератором. Таким образом, комплексифицированная сфера задается двумя системами таких генераторов. Описание такого сорта, по существу, составляет основу общего геометрического рассмотрения спиноров в -мерном случае. Однако мы не будем сейчас в него вдаваться.