§ 5. Простые свойства тензоров и спиноров в точке

В данном параграфе мы рассмотрим ряд полезных соотношений, которые выполняются для спиноров (или тензоров) в фиксированной точке пространства. Другими словами, эти

соотношения могут нарушаться в случае спинорных полей (хотя в действительности они могут нарушаться лишь для полей специального вида). То, что точка пространства считается фиксированной, мы выразим в виде следующего условия: есть кольцо комплексных чисел с делением. [Свойства вплоть до (3.5.17) включительно имеют место и в том случае, когда есть произвольное коммутативное кольцо с делением и нулевой характеристикой, а также в том случае, исключая (3.5.15), когда имеет произвольную характеристику, отличную от 2.]

Предложение

Доказательство: Поскольку есть кольцо с делением, условие означает, что или Это имеет место для всех откуда и следует наше утверждение.

Предложение

Если

Доказательство-. Поскольку можно выбрать так, что . Мы имеем поэтому где Очевидно, что , поскольку . Далее но откуда в силу предложения (3.5.1).

Предложение

Доказательство: Поскольку можно выбрать так, что . Мы имеем следовательно, полагая и получаем Аналогично для некоторых Таким образом, в случае предложения и Для некоторого Достаточно положить чтобы получить требуемый результат.

Представляют интерес различные частные случаи предложения (3.5.3). Например, если и Ф то (3.5.3) дает

Более специальный результат имеет вид

Если множество индексов, отвечающих символу пусто, мы имеем

Действительно, так как будет в этом случае (ненулевым) скаляром, в (3.5.3) можно положить Дальнейшее упрощение получается в том случае, когда множество индексов, отвечающих символу также пусто. При этом мы снова получаем соотношение (3.5.2). Если фиксировать в (3.5.2), то мы получим соотношение, которое является специальным случаем соотношения (3.5.4):

Предложение

Следующие три условия на эквивалентны:

Доказательство: Заметим, что условие II можно переписать в виде

Теперь предположим, что выполняется условие I. Тогда получаем соотношение

которое симметрично по Таким образом,

Это справедливо для всех и в силу формулы (3.3.23) мы получаем соотношение II. Пусть теперь выполнено условие II. Тогда равенство (3.5.11) справедливо для любого Оно аналогично соотношению, приведенному в предложении откуда следует условие I. Таким образом, условия I и II эквивалентны. Очевидно, что из условия III следует I. Пусть теперь выполняется условие I, и оля. Поскольку условие II при этом также выполняется, можно свернуть (3.5.9) с что приводит к соотношению

Вследствие предложения (3.5.1) должен обращаться в нуль один из множителей. Если это первый множитель, то часть выражения

кососимметричная по должна обращаться в нуль, если же равен нулю второй множитель, то должна обращаться в нуль часть этого выражения, кососимметричная по При заданном величины для которых выполняются оба эти условия, образуют линейное пространство. Поскольку объединение этих линейных пространств есть то одно из них должно совпадать с следовательно, выражение (3.5.13) либо кососимметрично по для всех либо кососимметрично по для всех То же справедливо для Таким образом, выражение

либо симметрично по либо симметрично по Тогда условие III следует из утверждения (3.5.4).

Предложение

Доказательство: Это следует непосредственно из предложений (3.3.22) и (3.5.1), примененных к выражению

Все результаты, перечисленные выше, справедливы для пространства любой размерности. Существует однако, несколько специальных результатов, существенно использующих двумерность спинового пространства. Например, так как из (2.5.23) следует, что свертка спиноров эквивалентна антисимметризации, из (3.5.4) имеем

Если множество пусто, то в (3.5.16) можно положить тогда имеем

Еще более частное утверждение (2.5.56) получается, когда множество также пусто.