§ 8. Тензор Вейля и тензор Беля — Робинсона

Тензор [формула (4.6.41)] называют конформным тензором Вейля (поэтому часто называют конформным спинором Вейля). Он дает конформно-инвариантную часть-тензора кривизны. [Мы увидим в (6.8.5), что — инвариант конформных преобразований; в (6.9.23) мы покажем, что равенство нулю этого тензора есть необходимое и достаточное условие того, чтобы пространство было кусочно конформно-плоским.] Если метрика удовлетворяет полевым уравнениям Эйнштейна- (без космологического члена), сводится к в вакууме. Отметим, что «тензор Риччи», построенный по равен нулю:

Отсюда и из того, что обладает симметриями тензора и отличается от слагаемыми, содержащими тензор Ряччи и скаляр кривизны [формулы (4.6.41) и (4.6.38)], получаем следующее выражение:

[Вид разных слагаемых этого выражения определяется требованиями симметрии, а численные коэффициенты —2 и 1/3 вытекают из соотношения Заметим, что в силу мулы (4.6.33)

Пусть будут самодуальная и антисамодуальная части тензора формулы (3.4.35), (4.6.42), (4.6.43). Ввиду равенства (4.8.3) не требуется проводить различие между левыми и правыми самодуальными и антисамоудальными величинами. Тогда

Одно из наиболее существенных упрощений, к которым приводит спинорный формализм в теории относительности — то, что очень важному, но несколько громоздкому тензору сопоставляется простой объект — полностью симметричный спинор Как упоминалось выше, это приводит к очень прозрачной классификационной схеме для тензора кривизны. В гл. 8 мы подробно проанализируем структуру тензора Здесь же отметим лишь несколько алгебраических свойств этого тензора и укажем их связь с так называемым тензором Беля — Робинсона. Эти примеры иллюстрируют возможности спинорного подхода.

Рассмотрим два произвольных тензора и обладающих всеми симметриями тензора т. е. имеющими вид (4.6.41), где — вполне симметричный спинор. Тогда мы имеем два соотношения, аналогичных формулам (3.4.44) и

Доказательство равенства (4.8.6) проводится непосредственно и вполне аналогично доказательству равенства (3.4.44), а

равенство (4.8.7) доказывается аналогично равенству (3.4.45): действительно, если мы положим

то обе части равенства (4.8.7) будут просто равны

[Как и в предыдущем случае, прямое тензорное доказательство равенства (4.8.7) не тривиально.] Вновь каждой из сверток определяется прямое произведение этих тензоров и, следовательно, определяется каждый тензор в отдельности с точностью до множителя. (Эти результаты принадлежат И. Робинсону.)

Переходя в (4.8.7) к тензору Вейля, мы получаем так называемый тензор Беля — Робинсона

Альтернативное выражение для через действительные тензоры имеет вид

В его справедливости легко убедиться, если воспользоваться соотношениями

Свойства симметрии тензора совершенно невозможно усмотреть из тензорного выражения, но они очевидны при спинорной форме записи (4.8.9). Так, мы сразу видим, что — вполне симметричный тензор со следом, равным нулю:

Тваьс

Из этих двух выражений следует даже, что

[см. то, что говорится после формулы (3.3.61)]. То, что «факторизуется» согласно формуле -эквивалентно соотношению

[формула (3.5.5)]. Таким образом, используя методы гл. 3, § 4, мы можем получить квадратичное тензорное тождество, которому удовлетворяет тензор Оно имеет достаточно сложный вид, но его приведенная форма, содержащая лишь часть

информации, которую несет соотношение (4.8.13), таково:

Для доказательства этого равенства заметим, что его левая часть должна быть пропорциональна так как в силу формулы (2.5.24) мы имеем

а левая часть этого равенства, очевидно, кососимметрична по (это легко показать, применив «пилу Пенроуза» к индексам А, В, С). Тогда вид общего множителя получается после свертки по .

Другое свойство тензора — инвариантность при дуальных вращениях тензора [формула (4.6.12)]:

Это эквивалентно замене

при которой очевидно, не меняется.

Спинорный формализм позволяет легко сформулировать подходящий критерий единственности тензора . Например, с точностью до множителя, это — единственный четырехиндексный тензор, квадратичный по , который является инвариантом дуальных вращений тензора Или, с точностью до множителя, это — единственный вполне симметричный тензор (положительной валентности), квадратичный по Чтобы диться в справедливости данных утверждений, достаточно проанализировать возможный вид спинорных слагаемых в правой части равенства (4.8.9).

Можно указать свойства положительной определенности, которые также являются прямыми следствиями спинорного представления тензора Беля — Робинсона (4.8.9). Мы обсудим их ниже [формулы (5.2.14), (5.2.15)].