Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Общий метод перехода к тензорамВыше мы видели, что в случае симметричного тензора
мы имеем
Выполняя эти операции в явном виде, получаем
Замечательно, что эти сложные тензорные выражения соответствуют очень простой спинорной операции, а именно перестановке двух индексов. Для дальнейших ссылок мы приведем также следующие формулы:
Мы можем переписать (3.4.53) и (3.4.54), пользуясь определенными тензорными операторами. Положим
Тогда
Отметим, что
Таким образом, можно, например, написать
и т. д. Выполняя эту операцию повторно, можно представить перестановку любых спинорных индексов некоторого мирового тензора полностью в тензорной форме. Этот результат можно рассматривать как следствие того, что произвольная перестановка может быть представлена в виде произведения перестановок пар индексов (транспозиций). Рассмотрим, например, тензор
Таким образом,
Ясно, что заданную перестановку индексов можно представить в виде последовательных транспозиций разными способами, и при этом мы получим различные, но эквивалентные выражения вида (3.4.63). Доказательство этой эквивалентности в тензорном формализме может выглядеть очень сложно. Возьмем простой пример. Поскольку перестановка пары нештрихованных индексов всегда коммутирует с перестановкой пары штрихованных индексов, должно выполняться тождество
Оно справедливо, так как после свертки с произвольным тензором Если мы рассмотрим различные представления некоторой перестановки, включающей только нештрихованные спинорные индексы, в виде цепочки транспозиций, то получим ряд соотношений, которым удовлетворяет тензор
Очевидно, что с учетом равенства (3.4.60) каждое из этих равенств в действительности эквивалентно тождеству (3.4.64). Если учесть соотношение
которое выражает тот факт, что замена Теперь перейдем к задаче представления спинора общего вида
Однако с учетом изложенного выше ясно, что все такие мировые тензоры эквивалентны и преобразуются друг в друга путем чисто тензорных операций. Так что при общем анализе не существенно, какой из набора эквивалентных тензоров будет выбран. На практике же этот выбор обычно диктуется соображениями удобства. Далее предположим, что спинор
Наконец, предположим, что спинор Комплексный бивектор Далее, рассмотрим различные тензорные аналоги спинорных операций. Выше была рассмотрена перестановка спинорных индексов общего вида. Легко проанализировать операцию комплексного сопряжения: тензор, эквивалентный спинору, ком-плексно-сопряженному данному, есть величина, комплексно-сопряженная тензору, эквивалентному данному спинору. Аналогично, умножение четного (нечетного) спинора на скаляр соответствует умножению эквивалентного тензора на тот же скаляр (квадрат скаляра). Операции тензорного произведения спиноров отвечает, в сущности, тензорное произведение соответствующих тензоров. Проиллюстрируем нетривиальность этих утверждений на примерах. Пусть мы имеем два четных спинора В качестве второго примера рассмотрим тензорное произведение четного спинора с нечетным спинором, скажем В качестве третьего примера рассмотрим случай, когда в указанном смысле тензору, представляющему тензорное произведение спиноров Несколько иная ситуация возникает в том случае, когда мы имеем ряд нечетных спиноров, относительные знаки которых известны. Тогда знание тензора эквивалентного каждому из них, оказывается недостаточным. Дополнительно требуется найти тензоры эквивалентные тензорным произведениям различных нечетных спиноров. При этом задача, рассмотренная в предыдущем параграфе, становится неопределенной. Однако, здесь следует иметь в виду, что если известны тензоры Перейдем теперь к операции сложения спиноров. Если оба спинора четные, то из линейности операции сложения (считая, что тензорные эквиваленты получены одним и тем же способом), мы получаем, что тензор, эквивалентный сумме, есть сумма тензоров, эквивалентных слагаемым. Ситуация не столь проста в случае нечетных спиноров. Пусть и
через квадраты спиноров
(где знаки варьируются независимо) неразличимы. Рассмотрим тензорное произведение этих четырех уравнений, симметризованное по своим собирательным индексам:
Из (3.5.15) следует, что левая часть равна нулю тогда и только тогда, когда в каждой точке один из множителей обращается в нуль. (Может оказаться, что в разных точках обращаются в нуль разные множители, но эту возможность мы здесь рассматривать не будем.) После перемножения (3.4.70) получаем
что, очевидно, можно выразить через тензорные квадраты спиноров Если же относительный знак спиноров Наконец, рассмотрим операцию свертки. Вследствие формулы (2.5.23) свертка есть просто антисимметризация с последующим отделением множителя
Итак, мы показали, что (если не считать неопределенности в знаке для нечетных спиноров) всякий спинор и всякая спинорная операция имеет тензорный аналог. Одновременно мы показали, что тензорные аналоги простых спинорных операций могут выглядеть очень сложно. Поэтому на практике при вычислении тензорных эквивалентов спинорных выражений иногда оказывается проще не использовать общую теорию, а найти требуемые соотношения прямым вычислением. Однако для подобных вычислений не существует общего рецепта. Переход к тензорам часто оказывается исключительно громоздкой процедурой. Дополнительные сложности возникают при переходе к тензорным аналогам производных от спиноров. Этот случай мы рассмотрим в гл. 4, § 4.
|
1 |
Оглавление
|