Общий метод перехода к тензорам

Выше мы видели, что в случае симметричного тензора перестановка спинорных индексов А, В приводит к обращению знака следа. В случае же кососимметричного тензора перестановка А, В приводит к дуальному тензору, умноженному на . В случае произвольного тензора валентности следует рассматривать комбинированное отображение, так как, записывая

мы имеем

Выполняя эти операции в явном виде, получаем

Замечательно, что эти сложные тензорные выражения соответствуют очень простой спинорной операции, а именно перестановке двух индексов.

Для дальнейших ссылок мы приведем также следующие формулы:

Мы можем переписать (3.4.53) и (3.4.54), пользуясь определенными тензорными операторами. Положим

Тогда

Отметим, что

Таким образом, можно, например, написать

и т. д. Выполняя эту операцию повторно, можно представить перестановку любых спинорных индексов некоторого мирового тензора полностью в тензорной форме. Этот результат можно рассматривать как следствие того, что произвольная перестановка может быть представлена в виде произведения перестановок пар индексов (транспозиций). Рассмотрим, например, тензор Чтобы найти тензорное выражение для можно рассмотреть следующую цепочку транспозиций:

Таким образом,

Ясно, что заданную перестановку индексов можно представить в виде последовательных транспозиций разными способами, и при этом мы получим различные, но эквивалентные выражения вида (3.4.63). Доказательство этой эквивалентности в тензорном формализме может выглядеть очень сложно. Возьмем простой пример. Поскольку перестановка пары нештрихованных индексов всегда коммутирует с перестановкой пары штрихованных индексов, должно выполняться тождество

Оно справедливо, так как после свертки с произвольным тензором обе части равенства должны давать Однако прямое доказательство тождества (3.4.64) не столь просто.

Если мы рассмотрим различные представления некоторой перестановки, включающей только нештрихованные спинорные индексы, в виде цепочки транспозиций, то получим ряд соотношений, которым удовлетворяет тензор Например, перестановка может быть представлена как или или что дает

Очевидно, что с учетом равенства (3.4.60) каждое из этих равенств в действительности эквивалентно тождеству (3.4.64). Если учесть соотношение

которое выражает тот факт, что замена приводит к тождественной перестановке индексов, то все тождества для тензора которые можно получить указанным методом, сводятся к уже найденным тождествам. Мы не приводим подробное доказательство этого утверждения. Оно сводится к доказательству того, что все представления заданной перестановки в виде цепочки транспозиций переводятся друг в друга с помощью преобразований, рассмотренных выше.

Теперь перейдем к задаче представления спинора общего вида в форме мирового тензора. Вначале предположим, что все индексы находятся в нижней позиции. (Очевидно, что это не меняет информации, содержащейся в ) Если спинор имеет одинаковое число штрихованных и нештрихованных индексов, то для перехода к эквивалентному мировому тензору нам потребуется самое большее произвести замену индексов. При необходимости получающийся комплексный мировой тензор можно рассматривать как два действительных мировых тензора, а именно его действительную и мнимую части. Разумеется, существуют различные замены индексов, приводящие к комплексному мировому тензору, например:

Однако с учетом изложенного выше ясно, что все такие мировые тензоры эквивалентны и преобразуются друг в друга путем чисто тензорных операций. Так что при общем анализе не существенно, какой из набора эквивалентных тензоров будет выбран. На практике же этот выбор обычно диктуется соображениями удобства.

Далее предположим, что спинор имеет четное полное число индексов, хотя числа штрихованных и нештрихованных индексов могут быть неодинаковыми. Мы называем такой спинор четным. В этом случае мы строим тензорное произведение спинора с достаточным числом

-спиноров, чтобы полное число штрихованных и нештрихованных-индексов было одинаковым. (При этом новый спинор несет ту же информацию, что и исходный.) После такого умножения мы возвращаемся к задаче, которая обсуждалась выше, что позволяет получить комплексный мировой тензор (или два действительных мировых тензора), которым представляется спинор Как и прежде, может быть несколько эквивалентных тензорных представлений. Результат будет тем же и в том случае, если мы возьмем в качестве множителей избыточное число -спиноров, поскольку эти избыточные спиноры с помощью замены индексов можно сгруппировать в пары вида . В тензорном представлении такая пара есть просто Тензор, содержащий такой множитель, несет ту же информацию, что и тензор без него.

Наконец, предположим, что спинор нечетный, т. е. имеет нечетное полное число индексов. Для него не существует полного тензорного аналога, поскольку это — чисто спинорный объект. (Напомним, что любое тензорное произведение нечетного числа спин-векторов или сопряженных спин-векторов в фиксированной точке изменяет знак при непрерывном активном повороте вокруг этой точки на поскольку при этом меняет знак каждый из сомножителей; спинор есть сумма таких тензорных произведений, а значит, обладает этим свойством.) Таким образом, мы можем рассчитывать найти требуемое тензорное представление лишь с точностью до знака. Учитывая это, мы можем применить прием, указанный выше, к четному спинору которым спинор определяется с точностью до знака. Можно сказать, что процедура тензорного представления спин-вектора, изложенная в § 2 по существу основана на этом методе. Выбирая в качестве исходного объекта спин-вектор мы «квадрируем» его, чтобы получить четный спинор . Умножение на приводит к комплексному мировому тензору так, как это описано выше. Чтобы получить геометрическое представление этого объекта, мы берем (удвоенную) действительную часть и получаем что соответствует тензору (3.2.9) с опущенными индексами. Нет необходимости рассматривать также мнимую часть тензора поскольку она совпадает с одной второй тензора дуального тензору Геометрическая интерпретация величины не существенно отличается от интерпретации тензора поскольку этот тензор изображает изотропный флаг с тем же флагштоком, что и но полотнище флага повернуто в положительном направлении на (т. е. соответствует полотнищу флага спин-вектора ).

Комплексный бивектор есть просто антисамодуальная часть тензора т. е. тензор .

Далее, рассмотрим различные тензорные аналоги спинорных операций. Выше была рассмотрена перестановка спинорных индексов общего вида. Легко проанализировать операцию комплексного сопряжения: тензор, эквивалентный спинору, ком-плексно-сопряженному данному, есть величина, комплексно-сопряженная тензору, эквивалентному данному спинору. Аналогично, умножение четного (нечетного) спинора на скаляр соответствует умножению эквивалентного тензора на тот же скаляр (квадрат скаляра).

Операции тензорного произведения спиноров отвечает, в сущности, тензорное произведение соответствующих тензоров. Проиллюстрируем нетривиальность этих утверждений на примерах. Пусть мы имеем два четных спинора Эквивалентные комплексные мировые тензоры имеют вид Как указано выше, тензорное произведение может быть представлено тензором Очевидно, что тензор не совпадает с тензорным произведением тензоров и Однако путем перестановки спинорных индексов в тензоре (т. е. ряда последовательных сверток с величинами мы можем преобразовать его к виду совпадает с . В этом смысле и тензорно-эквивалентны.

В качестве второго примера рассмотрим тензорное произведение четного спинора с нечетным спинором, скажем Мы переходим к как в предыдущем примере, и пусть Тензорное представление тензорного произведения принимает вид Оно квадратично по а также по тогда как тензорное произведение линейно по и квадратично по Таким образом, эти две величины нельзя рассматривать как «тензорно-эквива-лентные» в указанном смысле. Тензорному же произведению спиноров можно сопоставить тензор

В качестве третьего примера рассмотрим случай, когда и те же, что в предыдущем примере, и фиксируем второй нечетный спинор, скажем для которого Тензорное произведение тензоров квадратично и по и по следовательно, его нельзя считать «тензорно-эквивалентным»

в указанном смысле тензору, представляющему тензорное произведение спиноров поскольку это четный спинор и его не следует квадрировать для получения эквивалентного тензора. Но если известны лишь с точностью до знака и отсутствует информация об их относительном знаке, то четный спинор также определен с точностью до знака. В этом случае мы можем рассчитывать найти тензорное представление спинора лишь с точностью до знака. Следовательно, в лучшем случае мы можем найти тензор, эквивалентный квадрату который будет тензорно-эквивалентен прямому произведению

Несколько иная ситуация возникает в том случае, когда мы имеем ряд нечетных спиноров, относительные знаки которых известны. Тогда знание тензора эквивалентного каждому из них, оказывается недостаточным. Дополнительно требуется найти тензоры эквивалентные тензорным произведениям различных нечетных спиноров. При этом задача, рассмотренная в предыдущем параграфе, становится неопределенной. Однако, здесь следует иметь в виду, что если известны тензоры и то известен и тензор (поскольку известно произведение

Перейдем теперь к операции сложения спиноров. Если оба спинора четные, то из линейности операции сложения (считая, что тензорные эквиваленты получены одним и тем же способом), мы получаем, что тензор, эквивалентный сумме, есть сумма тензоров, эквивалентных слагаемым. Ситуация не столь проста в случае нечетных спиноров. Пусть и — нечетные спиноры. Посмотрим, как можно выразить сумму

через квадраты спиноров и Если спиноры известны лишь с точностю до знака, то четыре уравнения

(где знаки варьируются независимо) неразличимы. Рассмотрим тензорное произведение этих четырех уравнений, симметризованное по своим собирательным индексам:

Из (3.5.15) следует, что левая часть равна нулю тогда и только тогда, когда в каждой точке один из множителей обращается в нуль. (Может оказаться, что в разных точках обращаются в

нуль разные множители, но эту возможность мы здесь рассматривать не будем.) После перемножения (3.4.70) получаем

что, очевидно, можно выразить через тензорные квадраты спиноров Таким образом, тензорный эквивалент равенства (3.4.68) для нечетных спиноров можно получить, подставив в (3.4.71) тензоры, эквивалентные произведениям

Если же относительный знак спиноров и известен, а также найдены тензоры, эквивалентные произведениям и то существенно упрощается, поскольку в этом случае можно непосредственно квадрировать равенство (3.4.68), а затем перейти к тензорам.

Наконец, рассмотрим операцию свертки. Вследствие формулы (2.5.23) свертка есть просто антисимметризация с последующим отделением множителя Таким образом, имея тензорный аналог операции перестановки индексов и сложения, мы можем получить тензорный аналог свертки. Однако проще найти тензорное представление свертки непосредственно используя тензор определенный в формуле (3.4.57). Поскольку имеем

Итак, мы показали, что (если не считать неопределенности в знаке для нечетных спиноров) всякий спинор и всякая спинорная операция имеет тензорный аналог. Одновременно мы показали, что тензорные аналоги простых спинорных операций могут выглядеть очень сложно. Поэтому на практике при вычислении тензорных эквивалентов спинорных выражений иногда оказывается проще не использовать общую теорию, а найти требуемые соотношения прямым вычислением. Однако для подобных вычислений не существует общего рецепта. Переход к тензорам часто оказывается исключительно громоздкой процедурой. Дополнительные сложности возникают при переходе к тензорным аналогам производных от спиноров. Этот случай мы рассмотрим в гл. 4, § 4.