Главная > Спиноры и пространство-время, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Общий метод перехода к тензорам

Выше мы видели, что в случае симметричного тензора перестановка спинорных индексов А, В приводит к обращению знака следа. В случае же кососимметричного тензора перестановка А, В приводит к дуальному тензору, умноженному на . В случае произвольного тензора валентности следует рассматривать комбинированное отображение, так как, записывая

мы имеем

Выполняя эти операции в явном виде, получаем

Замечательно, что эти сложные тензорные выражения соответствуют очень простой спинорной операции, а именно перестановке двух индексов.

Для дальнейших ссылок мы приведем также следующие формулы:

Мы можем переписать (3.4.53) и (3.4.54), пользуясь определенными тензорными операторами. Положим

Тогда

Отметим, что

Таким образом, можно, например, написать

и т. д. Выполняя эту операцию повторно, можно представить перестановку любых спинорных индексов некоторого мирового тензора полностью в тензорной форме. Этот результат можно рассматривать как следствие того, что произвольная перестановка может быть представлена в виде произведения перестановок пар индексов (транспозиций). Рассмотрим, например, тензор Чтобы найти тензорное выражение для можно рассмотреть следующую цепочку транспозиций:

Таким образом,

Ясно, что заданную перестановку индексов можно представить в виде последовательных транспозиций разными способами, и при этом мы получим различные, но эквивалентные выражения вида (3.4.63). Доказательство этой эквивалентности в тензорном формализме может выглядеть очень сложно. Возьмем простой пример. Поскольку перестановка пары нештрихованных индексов всегда коммутирует с перестановкой пары штрихованных индексов, должно выполняться тождество

Оно справедливо, так как после свертки с произвольным тензором обе части равенства должны давать Однако прямое доказательство тождества (3.4.64) не столь просто.

Если мы рассмотрим различные представления некоторой перестановки, включающей только нештрихованные спинорные индексы, в виде цепочки транспозиций, то получим ряд соотношений, которым удовлетворяет тензор Например, перестановка может быть представлена как или или что дает

Очевидно, что с учетом равенства (3.4.60) каждое из этих равенств в действительности эквивалентно тождеству (3.4.64). Если учесть соотношение

которое выражает тот факт, что замена приводит к тождественной перестановке индексов, то все тождества для тензора которые можно получить указанным методом, сводятся к уже найденным тождествам. Мы не приводим подробное доказательство этого утверждения. Оно сводится к доказательству того, что все представления заданной перестановки в виде цепочки транспозиций переводятся друг в друга с помощью преобразований, рассмотренных выше.

Теперь перейдем к задаче представления спинора общего вида в форме мирового тензора. Вначале предположим, что все индексы находятся в нижней позиции. (Очевидно, что это не меняет информации, содержащейся в ) Если спинор имеет одинаковое число штрихованных и нештрихованных индексов, то для перехода к эквивалентному мировому тензору нам потребуется самое большее произвести замену индексов. При необходимости получающийся комплексный мировой тензор можно рассматривать как два действительных мировых тензора, а именно его действительную и мнимую части. Разумеется, существуют различные замены индексов, приводящие к комплексному мировому тензору, например:

Однако с учетом изложенного выше ясно, что все такие мировые тензоры эквивалентны и преобразуются друг в друга путем чисто тензорных операций. Так что при общем анализе не существенно, какой из набора эквивалентных тензоров будет выбран. На практике же этот выбор обычно диктуется соображениями удобства.

Далее предположим, что спинор имеет четное полное число индексов, хотя числа штрихованных и нештрихованных индексов могут быть неодинаковыми. Мы называем такой спинор четным. В этом случае мы строим тензорное произведение спинора с достаточным числом

-спиноров, чтобы полное число штрихованных и нештрихованных-индексов было одинаковым. (При этом новый спинор несет ту же информацию, что и исходный.) После такого умножения мы возвращаемся к задаче, которая обсуждалась выше, что позволяет получить комплексный мировой тензор (или два действительных мировых тензора), которым представляется спинор Как и прежде, может быть несколько эквивалентных тензорных представлений. Результат будет тем же и в том случае, если мы возьмем в качестве множителей избыточное число -спиноров, поскольку эти избыточные спиноры с помощью замены индексов можно сгруппировать в пары вида . В тензорном представлении такая пара есть просто Тензор, содержащий такой множитель, несет ту же информацию, что и тензор без него.

Наконец, предположим, что спинор нечетный, т. е. имеет нечетное полное число индексов. Для него не существует полного тензорного аналога, поскольку это — чисто спинорный объект. (Напомним, что любое тензорное произведение нечетного числа спин-векторов или сопряженных спин-векторов в фиксированной точке изменяет знак при непрерывном активном повороте вокруг этой точки на поскольку при этом меняет знак каждый из сомножителей; спинор есть сумма таких тензорных произведений, а значит, обладает этим свойством.) Таким образом, мы можем рассчитывать найти требуемое тензорное представление лишь с точностью до знака. Учитывая это, мы можем применить прием, указанный выше, к четному спинору которым спинор определяется с точностью до знака. Можно сказать, что процедура тензорного представления спин-вектора, изложенная в § 2 по существу основана на этом методе. Выбирая в качестве исходного объекта спин-вектор мы «квадрируем» его, чтобы получить четный спинор . Умножение на приводит к комплексному мировому тензору так, как это описано выше. Чтобы получить геометрическое представление этого объекта, мы берем (удвоенную) действительную часть и получаем что соответствует тензору (3.2.9) с опущенными индексами. Нет необходимости рассматривать также мнимую часть тензора поскольку она совпадает с одной второй тензора дуального тензору Геометрическая интерпретация величины не существенно отличается от интерпретации тензора поскольку этот тензор изображает изотропный флаг с тем же флагштоком, что и но полотнище флага повернуто в положительном направлении на (т. е. соответствует полотнищу флага спин-вектора ).

Комплексный бивектор есть просто антисамодуальная часть тензора т. е. тензор .

Далее, рассмотрим различные тензорные аналоги спинорных операций. Выше была рассмотрена перестановка спинорных индексов общего вида. Легко проанализировать операцию комплексного сопряжения: тензор, эквивалентный спинору, ком-плексно-сопряженному данному, есть величина, комплексно-сопряженная тензору, эквивалентному данному спинору. Аналогично, умножение четного (нечетного) спинора на скаляр соответствует умножению эквивалентного тензора на тот же скаляр (квадрат скаляра).

Операции тензорного произведения спиноров отвечает, в сущности, тензорное произведение соответствующих тензоров. Проиллюстрируем нетривиальность этих утверждений на примерах. Пусть мы имеем два четных спинора Эквивалентные комплексные мировые тензоры имеют вид Как указано выше, тензорное произведение может быть представлено тензором Очевидно, что тензор не совпадает с тензорным произведением тензоров и Однако путем перестановки спинорных индексов в тензоре (т. е. ряда последовательных сверток с величинами мы можем преобразовать его к виду совпадает с . В этом смысле и тензорно-эквивалентны.

В качестве второго примера рассмотрим тензорное произведение четного спинора с нечетным спинором, скажем Мы переходим к как в предыдущем примере, и пусть Тензорное представление тензорного произведения принимает вид Оно квадратично по а также по тогда как тензорное произведение линейно по и квадратично по Таким образом, эти две величины нельзя рассматривать как «тензорно-эквива-лентные» в указанном смысле. Тензорному же произведению спиноров можно сопоставить тензор

В качестве третьего примера рассмотрим случай, когда и те же, что в предыдущем примере, и фиксируем второй нечетный спинор, скажем для которого Тензорное произведение тензоров квадратично и по и по следовательно, его нельзя считать «тензорно-эквивалентным»

в указанном смысле тензору, представляющему тензорное произведение спиноров поскольку это четный спинор и его не следует квадрировать для получения эквивалентного тензора. Но если известны лишь с точностью до знака и отсутствует информация об их относительном знаке, то четный спинор также определен с точностью до знака. В этом случае мы можем рассчитывать найти тензорное представление спинора лишь с точностью до знака. Следовательно, в лучшем случае мы можем найти тензор, эквивалентный квадрату который будет тензорно-эквивалентен прямому произведению

Несколько иная ситуация возникает в том случае, когда мы имеем ряд нечетных спиноров, относительные знаки которых известны. Тогда знание тензора эквивалентного каждому из них, оказывается недостаточным. Дополнительно требуется найти тензоры эквивалентные тензорным произведениям различных нечетных спиноров. При этом задача, рассмотренная в предыдущем параграфе, становится неопределенной. Однако, здесь следует иметь в виду, что если известны тензоры и то известен и тензор (поскольку известно произведение

Перейдем теперь к операции сложения спиноров. Если оба спинора четные, то из линейности операции сложения (считая, что тензорные эквиваленты получены одним и тем же способом), мы получаем, что тензор, эквивалентный сумме, есть сумма тензоров, эквивалентных слагаемым. Ситуация не столь проста в случае нечетных спиноров. Пусть и — нечетные спиноры. Посмотрим, как можно выразить сумму

через квадраты спиноров и Если спиноры известны лишь с точностю до знака, то четыре уравнения

(где знаки варьируются независимо) неразличимы. Рассмотрим тензорное произведение этих четырех уравнений, симметризованное по своим собирательным индексам:

Из (3.5.15) следует, что левая часть равна нулю тогда и только тогда, когда в каждой точке один из множителей обращается в нуль. (Может оказаться, что в разных точках обращаются в

нуль разные множители, но эту возможность мы здесь рассматривать не будем.) После перемножения (3.4.70) получаем

что, очевидно, можно выразить через тензорные квадраты спиноров Таким образом, тензорный эквивалент равенства (3.4.68) для нечетных спиноров можно получить, подставив в (3.4.71) тензоры, эквивалентные произведениям

Если же относительный знак спиноров и известен, а также найдены тензоры, эквивалентные произведениям и то существенно упрощается, поскольку в этом случае можно непосредственно квадрировать равенство (3.4.68), а затем перейти к тензорам.

Наконец, рассмотрим операцию свертки. Вследствие формулы (2.5.23) свертка есть просто антисимметризация с последующим отделением множителя Таким образом, имея тензорный аналог операции перестановки индексов и сложения, мы можем получить тензорный аналог свертки. Однако проще найти тензорное представление свертки непосредственно используя тензор определенный в формуле (3.4.57). Поскольку имеем

Итак, мы показали, что (если не считать неопределенности в знаке для нечетных спиноров) всякий спинор и всякая спинорная операция имеет тензорный аналог. Одновременно мы показали, что тензорные аналоги простых спинорных операций могут выглядеть очень сложно. Поэтому на практике при вычислении тензорных эквивалентов спинорных выражений иногда оказывается проще не использовать общую теорию, а найти требуемые соотношения прямым вычислением. Однако для подобных вычислений не существует общего рецепта. Переход к тензорам часто оказывается исключительно громоздкой процедурой. Дополнительные сложности возникают при переходе к тензорным аналогам производных от спиноров. Этот случай мы рассмотрим в гл. 4, § 4.

1
Оглавление
email@scask.ru