Взвешенные дифференциальные операторы.

Далее, включим в наш формализм дифференциальные операторы. К сожалению, операторы (4.5.23), входящие в формализм спиновых коэффициентов, не подходят для этой цели, поскольку, действуя на скаляр ненулевого типа, они, вообще говоря, дают скаляр неопределенного типа. Поэтому мы модифицируем операторы (4.5.23), добавив слагаемые, содержащие спиновые коэффициенты, причем спиновые коэффициенты неопределенного типа Мы «изымаем их из свободного обращения», объединяя с дифференциальными операторами (которые также не являются величинами определенного типа) так, чтобы получить взвешенные дифференциальные операторы. Для скаляра (тензора, спинора) типа мы определяем

Эти комбинации выбраны так, что при замене (4.12.2) слагаемые, включающие производные от Я и взаимно уничтожаются:

Из этих формул следует, что операторы имеют следующий тип:

(Утверждение, что дифференциальный оператор имеет тип , означает, что, действуя на скаляр (или спинор, или тензор) типа он дает величину типа . В специальном случае мы имеем так что, вводя обозначения как в (4.12.10), мы можем написать

Используя определения (4.12.15), нетрудно убедиться в том, что операторы аддитивны и при действии на произведения удовлетворяют правилу Лейбница.

Эти величины можно определить иначе, используя векторные операторы нулевого веса (действующие на величину типа

Тогда

Отметим, что

Используя (4.12.19), легко показать, что

откуда

Восемь спиновых коэффициентов величина X и четыре дифференциальных оператора образуют базисные величины в нашем формализме. Кроме того, существуют операции комплексного сопряжения и введенная в (4.15.17) операция подстановки, обозначаемая штрихом. Они" обе переводят взвешенные величины во взвешенные. Операция «штрнх» инволютивна с точностью до знака: если — величина типа то

(Для всех скалярных величин, определенных в данном параграфе, комбинация в действительности четна, так;

что этот произвол не играет роли в случае скаляров.) Введение этой операции не только сокращает наполовину число необходимых греческих букв, но также уменьшает вдвое число уравнений, как мы уже отмечали по поводу формулы (4.11.12).

В дополнение к введенным базисным элементам самосогласованная система исчисления включает тетрадные компоненты различных тензорных полей (например, тензора электромагнитного поля или тензора Римана) и набор диадных компонент различных спинорных полей. Веса различных спинорных компонент тензора Римана таковы [формулы (4.11.6) — (4.11.8)]:

Кроме того, различные компоненты

симметричного спинора валентности являются величинами типа Соответствующие компоненты производных от имеют вид

Эти соотношения легко выводятся из формул

которые в свою очередь получаются из формул (4.5.26), (4.5.27) и (4.12.15). Отметим, что использование операторов вместо и соответственно приводит к тому, что в выражениях (4.5.26) и (4.5.27) исключаются все первые слагаемые неопределенного типа. Аналогично используя (4.12.28), легко убедиться в том, что переход к новым операторам в уравнениях (4.5.28) приводит к исчезновению всех слагаемых неопределенного типа (в скобках) в правых частях.

Комплексное сопряжение переводит величину (или операцию) типа в величину типа . Учитывая это замечание, а также полагая, что выполняются соотношения

мы находим [формулы (4.12.15) и (4.12.18)]

Операция «штрих» превращает величину (или операцию) типа в величину типа Отметим, что