Включение одной тензорной системы в другую

В процедуре использования собирательных индексов есть один момент, который в дальнейшем будет иметь для нас важное значение. Мы установили, что с собирательными индексами можно обращаться точно так же, как с исходными индексами-метками [Необходимость чередования в собирательных индексах меток с пробелами в противоположном (верхнем или нижнем) ряду можно легко устранить, если ввести соответствующее правило; скажем, можно было бы договориться, что первыми всегда должны идти все верхние индексы, а за ними все нижние.] Если дана произвольная тензорная

алгебра рассматриваемого типа, то мы можем построить новую тензорную алгебру («включенную» в данную), множество меток которой состоит из подходящим образом сгруппированных подмножеств множества Например, можно было бы положить и использовать качестве нового множества меток. Теперь рассмотрим тензорную систему, построенную из и способом, в точности аналогичным тому методу, которым из была построена исходная система. Например, согласно (2.2.35), модуль, дуальный модулю есть Легко убедиться, что каждое из определений тензоров I и II типов ведет к тензорам высшей валентности, являющимся элементами множеств [в частности, см. для сравнения (2.2.38)].

Следовательно, эта система вполне рефлексивна и действительно включена в исходную. Тензорные операции в новой системе в точности такие же, как в исходной. Их можно корректно записать только с помощью допустимой системы собирательных индексов. (Все эти замечания, конечно, не зависят от сделанного выше конкретного выбора расстановки индексов

Если бы мы рассмотрели одновременно различные типы группировок (например, пришли бы к тензорным системам несколько более общего типа, в которых имеется более одного множества меток. [В рассматриваемом примере Правила для тензорной системы с более чем одним множеством меток в основном такие же, как для системы, обладающей только одним множеством меток. Единственное различие связано с тем, что замены индексов допустимы только для элементов одного и того же множества меток. У двух множеств меток нет общих элементов, так что невозможно выполнить операцию свертки для индексов двух различных типов.

Тензорная система с более чем одним множеством меток могла бы возникнуть сама собой, если бы мы с самого начала рассматривали одновременно несколько различных -модулей (причем кольцо скаляров в каждом случае одно и то же). Можно было бы обозначить исходные модули через и определить следующие множества меток: и т. д.

Определения (ощих множеств можно было бы дать по аналогии с вышеизложенным. Так как мы не предполагаем существования канонического изоморфизма ни между ни между и т. д., то, как уже отмечалось, нельзя будет выполнить операцию замены индексов для индексов с разными числами различающих их штрихов. Если отвлечься от этого нового момента, то в остальном тензорная алгебра строится в полной аналогии с предыдущим. Такого рода системы важны для нас потому, что спинорная алгебра, к которой мы перейдем в § 5 и которой мы будем заниматься в оставшейся части книги, является системой именно такого типа. Спинорная система строится из двух модулей которые не связаны друг с другом «алгебраически», но которые связаны («неалгебраическим») отношением комплексного сопряжения.