Конформные свойства гармоник

Таблица (4.15.60) пригодна и для изучения конформных свойств величин типа на Р. Предположим, что конформный вес до удовлетворяет неравенству

т. е. что допустимые значения до таковы:

Мы используем описание с помощью спиноров и считаем, что преобразования Лоренца оставляют неподвижной точку . Тогда показатели однородности неотрицательны и мы имеем конечномерные пространства полиномов (4.15.41), инвариантных относительно конформных движений поверхности Эти пространства, как мы видели выше, распадаются на подпространства спиновых сферических гармоник, которые инвариантныотносительно вращений, но при нетривиальных конформных движениях преобразуются друг через друга. Фиксируем в (4.15.60) точку в которой и рассмотрим множество точек в -столбце, начиная с этой точки и выше. При конформных движениях поверхности 9 эти пространства преобразуются друг через друга и не дают вклада в закон преобразования других пространств в том же столбце. Попутно отметим, что (единственные) степени операторов при которых они становятся конформными инвариантами [а именно , формулы (4.15.30) и (4.15.33)], в точности аннигилируют рассматриваемые пространства. Остальные пространства в -столбце при общих конформных движениях поверхности дают вклад в закон преобразования всех пространств столбца. Специальные значения весов до, отвечающие допустимым значениям при заданном выделены тем, что они характеризуют конечномерные представления ограниченной группы Лоренца, соответствующие спиновым весам в пространстве симметричных спиноров валентности где Это пространство, естественно, связано со структурой

При указанных значениях до не существует других лоренц-инвариантных подпространств в множестве -функций на Однако возможна дуальная ситуация, когда до принимает одно из значений

Эта последовательность переходит в (4.15.63) при замене — Можно показать, что точки таблицы (4.15.60)

изображают в точности те пространства спиновых сферических гармоник, элементы которых при действии общих конформных движений поверхности не приобретают аддитивных добавок. Так, например, утверждение, что все неприводимые части функции равны нулю [при из набора (4.15.64)], конформно-инвариантно. Эти неприводимые части имеют вид

или, что эквивалентно,

что явствует из таблицы (4.15.60). Как отмечалось в формуле (4.15.30) и далее, операции (4.15.65) и (4.15.66) конформноинвариантны. Отсюда следует наше утверждение, что функции такого вида преобразуются друг через друга при конформных движениях поверхности

Отношение дуальности, о котором говорилось выше, можно рассматривать как следствие конформно-инвариантного эрмитова скалярного произведения -скаляров и -скаляров на поверхности (или, что эквивалентно, -скаляров, если мы предпочитаем не использовать операцию комплексного сопряжения и определить голоморфное, а не эрмитово скалярное произведение), а именно,

где есть 2-форма площади поверхности на (рис. 4.5). Выбирая эту форму в виде [как в формуле (4.14.65)], мы имеем

[здесь мы придерживаемся описания на основе спиноров о; при использовании спиноров в формуле (4.15.67) мы положили бы

Заметим, что на выполняется соотношение

откуда

(из этого представления сразу следует, что не зависит от И или v). Поскольку при масштабных преобразованиях величина ведет себя как величина типа [0, 2], подынтегральное выражение в формуле (4.15.67) и сам интеграл конформно-инвариантны. Конформные веса (4.15.63) и (4.15.64) дуальны в том смысле, что скалярное произведение между соответствующими функциями конформно-инвариантно.

Предположим теперь, что функция [отвечающая значению из набора (4.15.64)] имеет вид (4.15.65). Тогда

где

здесь для интегрирования по частям было использовано второе равенство формулы (4.14.71). Далее, в том и только в том случае, если принадлежит подпространству -скаляров, которое аннигилируется оператором Оно натянуто на конечномерные пространства сферических гармоник, которые преобразуются друг через друга при конформных движениях поверхности как говорилось выше. Следовательно, любой такой элемент ортогонален функции Поскольку функция в наших формулах произвольна, мы видим, что указанные функции — это в точности -скаляры, ортогональные всем -скалярам . Таким образом, конформная инвариантность пространства функций обусловлена конформной инвариантностью -пространстра (при и наоборот.