Конструкции, основанные на производной Кристоффеля
Будем далее предполагать, что оператор 
симметричен [формула (4.4.38)], тензор 
ковариантно постоянен относительно 
[формула (4.4.32) ]. Существует единственный оператор. 
удовлетворяющий этим условиям. Кроме того, операция поднятия и опускания индексов коммутирует с 
То есть
Конечно, мы должны показать, что существует оператор с такими свойствами. Это доказательство можно провести разными способами (например, пользуясь достаточно сложными явными формулами § 5). Один из способов состоит в том, чтобы, используя результаты § 2 и 3 [формула (4.3.45)], установить существование оператора Кристоффеля 
для которого определено действие на действительные мировые тензоры, удовлетворяющее равенствам 
кручение которого равно кулю и для которого метрика 
ковариантно постоянна: 
Затем мы должны расширить область определения 
так, чтобы включить спиноры.
Для этого мы должны сначала включить в область определения оператора 
комплексные мировые векторы, что легко достигается путем определения
Составной индекс Ф должен (на этой стадии) лишь содержать одинаковое число штрихованных и нештрихованных индексов в нижней и верхней позициях; никаких дополнительных 
-ничений не требуется. (Например, тензор 
может быть найден из 
подстановкой индексов.)
Рассмотрим выражение
Оно вполне определено, поскольку оператор 
действует только на комплексные мировые векторы или на скаляры. Кроме того, как легко убедиться, выражение (4.4.50) 
-линейно по 
и по 
этого достаточно использовать формулы (4.2.2), (4.2.3)]. Таким образом, для каждого 
выражением (4.4.50) определяется 
-линейное отображение из 
с помощью свертки с элементом 
зависит от 
при этом выражение (4.4.50) можно представить в виде 
- Отметим, что тензор (4.4.50) антисимметричен относительно перестановки 
Это означает, что тензор 
кососимметричен по 
так что его можно представить в виде йаввс 
где 
есть функция аргумента 
Запишем 
тогда выражение (4.4.50) равно
Мы хотим убедиться в том, что отображение 
определенное как 
удовлетворяет требованиям 
Для этого достаточно подставить 
вместо 
в (4.4.50). Таким образом, оператором 
определяется оператор спиновой ковариантной производной.
Как нетрудно убедиться» 
Действительно,
>
Умножим обе части равенства на 
и воспользуемся соотношением
[которое есть просто равенство выражений (4.4.51) и (4.4.50)], а также соответствующим соотношением для 
Нам потребуются также соотношения
С учетом этих соотношений формула (4.4.52) дает
для всех 
откуда следует наше утверждение 
Аналогично формуле (4.3.50) можно показать, что оператор спинорной ковариантной производной коммутирует с операцией поднятия и опускания спинорных индексов. Следовательно, выражение (4.4.50) с заменой 
на 
тоже должно равняться выражению (4.4.51). Вычисляя разность этих двух форм записи выражения (4.4.50), получаем
Поскольку каждый из операторов 
дает тензор при действии на элементы 
предыдущее равенство означает, что
где 
дается формулой (4.2.46). Следовательно, тензор 
симметричен по С, В. Из действительности тензора 
(каждый из операторов 
отображает действительные мировые тензоры в действительные мировые тензоры) следует, что тензор 
тоже симметричен по С и В. Отсюда заключаем, что тензор 
симметричен по с и 
Но тензор 
ковариантно постоянен при действии каждого из операторов 
(так как 
). Следовательно, в силу равенства (4.4.36) тензор 
будет кососимметричным по с и 
а значит, 
Отсюда следует тождественность операторов 
как операторов, действующих на тензоры (попутно мы показали, что кручение оператора 
должно быть равно нулю). Стало быть, можно написать 
где операторы действуют на произвольный спинор. Тем самым мы показали однозначность определения оператора спинорной ковариантной производной, обладающего свойстйом (4.4.48).
