Уравнения, линейные по «дальта»

Из выражения (4.15.53) мы видим, что если — произвольная спиновая сферическая гармоника, у которой то Справедливо также обратное:

Предложение

Если — произвольная гладкая -функция на то [или ] на всей поверхности в том и только том случае, когда — спиновая сферическая гармоника с [или ]

Доказательство. Если считать полноту полиномиальных гармоник установленной, то доказательство следует прямо из (4.15.54). Мы приведем другое доказательство, использующее результаты из комплексного анализа, и покажем, что решения уравнения должны быть полиномами указанного вида. Рассмотрим функцию для которой . В силу соотношений (4.15.17) мы имеем Предположим, что Тогда в силу равенств (4,15.15) мы имеем также а значит, Следовательно, есть голоморфная функция переменной Она также является однородной, степени и определена на всей поверхности . Но однородная голоморфная функция, определенная на всем пространстве есть полином [81]. Отсюда следует, что — полином и, следовательно, имеет требуемый вид

Аналогичные рассуждения проводятся для уравнения с учетом комплексного сопряжения.

В качестве следствия предложения (4.15.58) (так как не существует спиновых сферических гармоник при получаем

Предложение

Если функция определенная на , имеет отрицательный [положительный] спиновый вес, то из равенства [или ] следует равенство

при. изучении спиновых сферических гармоник оказывается полезной следующая таблица:

Числа в этой треугольной таблице (которая продолжается вниз неограниченно) представляют собой комплексные размерности различных пространств спиновых сферических гармоник [формула (4.15.43) и далее]. Каждое из этих пространств характеризуется значениями и указанными в таблице. Отсутствие цифры означает, что размерность соответствующего пространства равна нулю. Действие оператора эквивалентно смещению вправо по на один шаг, а оператора — влево. (Из изложенного, выше следует, что величина при этом не изменяется.) Если в результате такого смещения мы выходим за границу таблицы, то это означает, что действие операторов дает нуль. Отметим, что размерность пространства изменяетсятолько при переходе через край таблицы.

Во внутренней части таблицы операторы обратимы, так как в силу формул (4.15.54) и они обратны друг другу с точностью до множителя. На правом склоне треугольника оператор аннигилирует одно из пространств, и то же справедливо для на левом склоне.

При пересечении левого склона слева направо с помощью оператора мы переходим от пространства Нулевой размерности к пространству конечной размерности, отличной от нуля; Это отвечает ситуации, когда уравнения

неразрешимы. Например, если имеет спиновый вес и содержит слагаемое с то не существует функции

удовлетворяющей уравнению (4.15.61). В самом деле, пусть функция принадлежит пространству размерности 2 и расположена в столбце тогда функция должна находиться в столбце и может принадлежать только пространствам размерности При действии оператора на такую функцию мы не можем получить величину с чтобы перейти к соответствующему двумерному пространству. Но если функция не содержит слагаемого с то уравнение (4.15.61) разрешимо. Из таблицы (4.15.60) явствует, что это решение единственно, поскольку не аннигилирует нетривиальные пространства с

Ситуация изменяется, если спиновый вес равен, скажем, 3/2. Достаточно взглянуть на таблицу (4.15.60), чтобы понять, что уравнение (4.15.61) всегда разрешимо. Теперь функция лежит в столбце соответствующие пространства имеют размерности для всех таких чисел существуют пространства, отвечающие значению Особый случай представляет собой двумерное пространство, которое аннигилируется оператором . В этом случае уравнение (4.15.61) интегрируется неоднозначно, и благодаря этому произволу мы в точности получаем двумерное пространство с

Отметим также [60, 118, 121, 132], хотя в дальнейшем это не будет использоваться, что для оператора имеется единственный обобщенный обратный оператор удовлетворяющий условиям

Действие этого оператора определено на всех пространствах в (4.15.60), кроме расположенных на левом склоне нашей таблицы; в этом случае обратный оператор равен нулю. Аналогично можно определить при этом получим

(как обычно, подразумевается, что Используя оператор общее решение уравнения (4.15.61) можно записать в виде

где функция имеет правильный спиновый вес, а в остальном произвольна. Условие разрешимости имеет вид