Бескоординатная тензорная алгебра

С логической точки зрения данное выше определение тензора вполне удовлетворительно (хотя имеются ситуации, в которых это определение использовать нельзя). Однако с концептуальной точки зрения в этом определении слишком большое значение придается базису и компонентам. Возникает впечатление, будто понятие тензора неразрывно связано с понятием векторного базиса (или координатной системы). Это ведет к представлению, будто для подробных расчетов на тензорном языке обычно требуется введение базиса, а сами расчеты могут быть выполнены только с помощью тензорных компонент. Но это впечатление ошибочно. Современное алгебраическое определение тензора (во всех его обличьях) избегает каких-либо ссылок на базисы или координатные системы. (Понятие тензора остается в силе даже в тех случаях, когда базисы или системы координат не существуют в том смысле, в котором мы их привыкли понимать.) Основной упор в этой книге делается как раз на алгебраическое бескоординатное описание рассматриваемых объектов, поскольку у нас возникло впечатление, что, например, в случае спинор-ного анализа, наметилась тенденция придавать слишком большое значение кажущейся необходимости координатных базисов.

В то же время, если вернуться к подробным тензорным расчетам, то окажется, что современный алгебраический подход к тензорам, в той форме, в которой он обычно излагается, обладает рядом определенных недостатков. Причина кроется в основном в обозначениях. Когда вычисления выполняются в тензорных компонентах, классические индексные обозначения тензоров вместе с правилом суммирования Эйнштейна являются основой очень мощной и универсальной техники, техники, практичность которой в значительной мере опирается на возможность раздельного обращения с индивидуальными индексами. А при обычном абстрактном алгебраическом подходе никаких индексов нет, так что большая часть этой универсальности утрачивается. Поэтому при использовании такого более абстрактного подхода поступают иногда следующим образом. Когда становятся необходимыми подробные расчеты, на некоторое время возвращаются к описанию с помощью компонент, а затем, лишь в конце вычислений, переписывают полученные соотношения так, чтобы они связывали абстрактные тензоры.

Чтобы более четко представлять себе трудности, возникающие при абстрактном подходе, посмотрим, как можно было бы оперировать тензорами А, В, С, ... алгебраически, напрямую, не обращаясь ни к какой форме индексных обозначений. Наша первая операция, а именно сложение, не представляет трудностей. Если А и В - два тензора одинаковой валентности

то можно образовать сумму

той же валентности причем компоненты этих тензоров будут связаны соотношением (2.1.2). Для каждой валентности имеет место структура абелевой группы, определяемая операцией сложения, а именно (все тензоры в четырех следующих строчках имеют одинаковую валентность

(см. скан)

Точно так же никаких серьезных проблем не представляет тензорное произведение. Если валентность а

— валентность то можно образовать произведение

валентности компоненты которого связаны соотношением (2.1.3). Операция тензорного умножения позволяет поставить в соответствие полной системе тензоров структуру (некоммутативной) полугруппы:

(В общем случае поскольку, хотя набор компонент и один и тот же, но порядок их расположения различен.) Умножение дистрибутивно относительно сложения:

где В и С имеют одинаковую валентность.

Операция свертывания, компонентная форма которой определяется формулой (2.1.4), опять же не представляет существенных

проблем. Если тензор имеет валентность то, обозначая операцию свертывания символом получим с формулой (2.1.4)]

где представляет собой тензор валентности Операция свертывания связана со сложением и умножением двумя правилами:

где А и В имеют одинаковые валентности, а валентность тензора положительна и в верхней, и в нижней позициях.

В то же время вроде бы безобидная, но важная четвертая операция перестановки индексов представляет в данном подходе очень серьезную проблему. Она необходима, чтобы выражать симметрии тензоров; частный случай этой операции нужен, чтобы выразить связь между и она требуется еще и в связи с определенной нами предпоследней операцией свертывания а именно в сочетании с ней для образования произвольной свертки (когда свертываются не обязательно последние индексы). Конечно, можно придумать специальные безындексные обозначения, позволяющие справиться с определенными простыми тензорными соотношениями такого типа, но в смысле общности, прозрачности и гибкости такие обозначения сильно проигрывают в сравнении с первоначальными индексными обозначениями, в особенности когда приходится иметь дело с выражениями произвольной сложности. (Представляется, что единственной альтернативой индексным обозначениям, позволяющей сохранить все положительные качества последней, является некоторая форма диаграммных обозначений [38, 141, 179]. Некоторые замечания по этому поводу можно найти в приложении. К сожалению, воспроизведение этих обозначений типографским способом наталкивается на серьезные трудности, так что они, по-видимому, годятся в основном для неофициальных вычислений, не предназначенных для опубликования.)

Смирившись с этим фактом, легче понять, что следует делать дальше. Тензорные индексные обозначения должны быть сохранены. Однако это вовсе не означает отказ от нашего идеала — от подхода, совершенно не зависящего от базиса. Преимущества, которые дают абстрактный алгебраический и компонентный методы, не являются взаимоисключающими. В подходе, который мы намерены использовать в следующем параграфе, будет

сохранена исключительная гибкость индексных обозначений. При этом изложение будет с самого начала бескоординатным. Ключ к этому формализму — осознание того факта, что индекс не обязательно означает множество пробегаемых им целых чисел (например, 1, 2, ..., n). Скорее следовало бы считать тензорный индекс просто меткой, единственное назначение которой — нести информацию о типе рассматриваемого тензора и об операциях, которым подвергается тензор. Расчеты можно выполнять, пользуясь величинами с индексами, в точности как в классической тензорной алгебре, но при этом смысл символов будет совершенно иным. Каждый символ с индексами будет описывать весь тензор целиком, причем без привлечения, явного или косвенного, системы координат или базиса. Как этого добиться, мы узнаем из следующего параграфа.