Геометрический смысл внутреннего произведения

В заключение данной главы остановимся на геометрической интерпретации трех основных операций над спин-векторами. (Читатели, в меньшей степени интересующиеся указанной геометрией, могут переходить прямо к гл. 2.) С первой операцией, а именно умножением на скаляр, мы уже имели дело в § 4. Напомним сделанные выводы. Чтобы получить спин-вектор из нужно, не изменяя направления флагштока, умножить протяженность флагштока на а полотнище флага повернуть в положительном направлении на угол

Далее рассмотрим внутреннее произведение (поскольку оно оказывается значительно проще, чем сложение). Для начала заметим, что модуль внутреннего произведения равен пространственноподобному интервалу между оконечностями соответствующих флагштоков, умноженному на Действительно, если К — флагшток спин-вектора флагшток

Рис. 1.18. Стереографическая проекция пар точек, представляющих два спин-вектора, из сферы на аргандову плоскость.

спин-вектора , то, используя координаты, как и в § 2, напишем

Остается дать интерпретацию величине . Проще всего это сделать с помощью сферы . Пусть точка Р на и касательный вектор к в точке Р представляют как и в § 4. Пусть, аналогично и М представляют Выберем на так, чтобы выполнялись соотношения

как и в случае (1.4.9). Пусть соответственно— проекции точек и векторов на аргандовой плоскости (рис. 1.18). Представляя векторы в аргандовой плоскости комплексными числами, напишем

Следовательно,

Рис. 1.19. Для любой окружности на сфере проходящей через точки Р и сумма углов, которые она образует с векторами и М, одна и та же.

и поэтому величина равна сумме углов, образуемых векторами с вектором взятой со знаком минус. Поскольку стереографическая проекция обладает свойством конформности, упомянутые углы равны соответственным углам на сфере (несмотря на то что каждый из этих углов имеет обратный знак, поскольку проектирование изменяет ориентацию поверхности на противоположную). Прямая линия (ориентированная в направлении является теперь проекцией ориентированной окружности (где — северный полюс сферы ). Таким образом, есть сумма двух углов (измеряемых в положительном направлении), которые образованы векторами и М с с. Этим величина определяется геометрически с точностью до возможной добавки Следовательно, мы имеем геометрическое определение величины Из инвариантности вытекает, что точка должна быть несущественной в рассматриваемом построении. В самом деле, элементарные геометрические рассуждения (рис. 1.19) показывают, что сумма указанных углов будет одной и той же при любой выбранной ориентации окружности с на проходящей через две точки Р и

Чтобы получить правильный знак внутреннего произведения необходимо рассматривать и М. как спинорные объекты, а не просто касательные векторы к Представим себе теперь, что вектор перемещается непрерывно вдоль с в направлении от Р к все время образуя один и тот же угол с с. Когда вектор достигает точки мы растягиваем (или сжимаем) его, так чтобы его длина сравнялась с длиной вектора М, а затем поворачиваем и М на одинаковые углы в противоположных

направлениях (оставляя их касательными к до совпадения. Угол (измеряемый в положительном направлении), который образуют совпадающие теперь векторы и , и дает требуемое значение Суть такого построения в следующем. Хотя в точке имеются два возможных направления, вдоль которых в конце концов совмещаются рассматриваемые векторы (а значит, и соответствующие флаги), только одно из этих направлений отвечает совпадению спинорных объектов, представляемых векторами и М (совпадению соответствующих спин-векторов). Именно такое совпадение мы и должны выбирать. Итак, мы дали геометрическое определение величины с учетом ее знака.

Из непрерывности рассмотренного построения вытекает, что получающееся значение не зависит от выбора окружности с, проходящей через Р и Тот же самый угол получится и в том случае, если вместо того, чтобы перемещать вектор в прямом направлении от Р к перемещать вектор М в обратном направлении (против ориентации с) от к Р, а затем поворачивать и М в точке Р. Но если мы перемещаем из в Р вдоль с в направлении ориентации окружности с, то мы получаем значение внутреннего произведения с противоположным знаком. (Дело в том, что перемещение вектора М по всему контуру с от точки Р до той же точки Р привело бы к изменению знака спинорного объекта, поскольку такое перемещение соответствует лишь одному полному обороту указанного объекта.) Так как это эквивалентно перемене ролей точек Р и и векторов и М, мы тем самым показали, что как и требовалось. Наконец, утверждение о том, что в вышеприведенном построении мы выбрали правильный знак величины следует из анализа специального случая

Возможно, что геометрическое определение внутреннего произведения построенное на основе столь разнородных понятий, покажется читателю несколько несовершенным: действительно, модуль определен с помощью 4-геометрии, а аргумент — с помощью Поэтому мы покажем, что модуль также может быть непосредственно интерпретирован следующим образом с использованием сферы

где - евклидова длина, равная вектора Чтобы убедиться в справедливости выражения (1.6.31), заметим сначала, что оно представляет собой просто выражение (1.6.25) в случае, когда концы обоих флагштоков лежат на так что

Рис. 1.20. Интерпретация величины на основе 4-геометрии.

В общем случае мы просто умножаем флагштоки [с учетом (1.6.17)] на скаляры соответственно с формулой (1.4.16)]. Отметим, что выражение (1.6.30) есть предельный случай выражения (1.6.31), когда — плоскость.

Дадим также интерпретацию величины в рамках 4-геометрии. Пусть а — пространственноподобная 2-плоскость, проходящая через точку О и являющаяся ортогональным дополнением времениподобной 2-плоскости, натянутой на два флагштока. Пусть и V — единичные векторы пересечений плоскости а с соответствующими полотнищами флагов спин-векторов х и (о (рис. 1.20). Тогда угол между и V, измеряемый соответствующим образом, оказывается равным Чтобы определить направление, в котором должен измеряться этот угол, а также определить знак величины рассмотрим пространственный поворот (направление фиксированной временной оси выбрано вдоль суммы флагштоков) относительно прямой в плоскости а, делящей угол между пополам. Если такой поворот непрерывно продолжить до то в зависимости от направления, в котором происходит вращение, х переходит в или в (В самом деле, переходит в V, а флагштоки переходят один в другой.) Выберем направление таким образом, чтобы спин-вектор х переходил в Тем, что этот поворот происходит в положительном направлении относительно прямой определяется ориентация прямой Угол, который вектор составляет с положительным направлением прямой (указанный угол измеряется в направлении, задаваемом положительным вращением полотнища флага спин-вектора х относительно своего флагштока), будет тогда в точности равен

Чтобы убедиться в справедливости приведенного выше предписания, рассмотрим систему отсчета Минковского с временной осью и соответствующей римановой сферой Точки Р и изображающие флагштоки, представляют собой теперь диаметрально противоположные точки на сфере; векторы и V только положительными множителями отличаются от векторов и М, перенесенных в центр. Искомый результат вытекает из простого геометрического рассмотрения.