Главная > Спиноры и пространство-время, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Спиноры и мировые тензоры

§ 1. Мировые тензоры как спиноры

В данном параграфе мы покажем, что мировые тензоры и, в частности, мировые векторы могут рассматриваться как частные случаи спиноров. Тем самым алгебра мировых тензоров окажется включенной в спинорную алгебру, рассмотренную в гл. 2, § 5. Указанное включение одного типа спинорной алгебры в другой представляет собой частный случай процедуры, описанной в гл. 2, в конце § 2. Соответственно этому индексные метки включенной системы представляют собой собирательные индексы, построенные из определенных групп меток исходной системы, объединенных вместе. В том частном случае, которым мы здесь будем заниматься, метки мировых тензоров будут образовывать пары спинорных меток, одна из которых нештрихованная, а другая — штрихованная. Это видно из формул (1.2.15) и (1.2.23), выражающих компоненты мирового вектора через компоненты спин-вектора. Компоненты мирового вектора билинейны по компонентам спин-вектора и по комплексно-сопряженным компонентам спин-вектора.

Определим набор меток мирового тензора

исходя из спинорных наборов меток [формулы (2.5.1), (2.5.27)], где

Тогда, к примеру, мы сможем пометить спинор (2.5.33) следующими различными способами:

Мы не принимаем здесь правила (обычного в общем случае собирательных индексов), гласящего, что собирательные индексы должны включать индексы одного сорта, встречающиеся в выражении. Действительно, принцип группировки весьма

определенен, так что никакой неоднозначности возникнуть не может. К примеру, каждое из последующих эквивалентных свернутых выражений

может применяться с одинаковым успехом, и опять-таки

Некоторые спиноры могут быть полностью помечены элементами из

Они принадлежат спинорным наборам . Такие спинорные наборы играют особую роль, поскольку при операции комплексного сопряжения они перево-дятся сами в себя. Мы будем называть из такого набора комплексным мировым тензором. Таким образом, операция комплексного сопряжения для такого спинора

приводит к другому спинору того самого вида. Некоторые комплексные мировые тензоры в действительности будут инвариантными относительно операции комплексного сопряжения; они будут называться действительными мировыми тензорами, или просто мировыми тензорами. (В дальнейшем мы кратко остановимся на вопросе обоснования данной терминологии.) Таким образом, действительный мировой тензор удовлетворяет соотношению

Обозначим подмножества состоящие из действительных мировых тензоров, символами соответственно. (Множество представляет собой кольцо действительных скалярных полей на пространстве-времени, или кольцо действительных чисел с

делением, если мы рассматриваем спиноры в одной точке.) Система является тензорной системой, возникающей, как говорилось в гл. 2, § 2, из -модуля . Каждый модуль представляет собой тогда некоторый -модуль, а вся система является замкнутой относительно тензорных операций сложения, тензорного произведения, замены индексов и свертывания. Элементы модуля (или и т. д.) называются (действительными) мировыми векторами.

Если ввести действительные мировые тензоры

то в силу свойств (2.5.3), (2.5.9), (2.5.11), (2.5.25) и (2.5.34) будем иметь

Из (2.5.13) и (2.5.35) вытекают равенства

а поэтому играет роль дельта-символа Кронекера. (Мы предпочитаем использовать здесь символ вместо во» поскольку он согласуется с обозначением а также позволяет избежать возможных недоразумений при введении базисных систем отсчета.) Далее, из (2.5.14), (2.5.15), (2.5.36) и (2.5.37) вытекают равенства

а поэтому играют формально ту же самую роль, что и метрический тензор и обратный ему тензор с нижними и верхними тензорными индексами. И действительно, ииже мы отождествим введенные выше с метрическим тензором и обратным ему тензором.

При обычном способе описания пространства-времени (как в гл. 1) сначала задаются мировые векторы и мировые тензоры. Метрика вводится как особый мировой тензор, определяющий «геометрию» пространства-времени и только после этого дается определение спинора. Более того, чтобы определение спинора было глобально непротиворечивым, пространство-время должно удовлетворять некоторым глобальным топологическим требованиям (гл. 1, § 5). В этом случае спиноры можно интерпретировать в рамках довольно сложной пространственно-временной геометрии, хотя при такой интерпретации и остается неопределенность в общем знаке. Мы можем спросить себя:

действительно ли природа столь сложна? Ведь спинорные поля — это, несомненно, часть природы, описываемой современной физической теорией.

Оказывается, что сложность в значительной степени обусловлена тензорным методом. Если рассматривать (что мы и будем делать в данной книге) спин-векгоры как более фундаментальные объекты, чем мировые векторы, как, быть может, нечто более изначальное, нежели сама пространственно-временная структура, из чего эта частная структура может быть выведена, то указанная сложность в значительной степени исчезает. Действительно, если исходить из спиноров, то мы не получим неопределенности в знаке (поскольку знаки являются частью заданной структуры, а не то, что еще предстоит определить). Получающееся пространство-время автоматически оказывается ориентированным в пространстве и времени и наделенным спиновой структурой (эти его свойства представляются весьма желательными в свете многочисленных экспериментальных данных, см. гл. 1, конец § 5). Даже размерность н сигнатура пространства-времени выступают как «следствия» рассматриваемого нами конкретного спинорного формализма. Сама по себе спинорная алгебра отличается определенной простотой. Сложности, возникают, по-видимому, тогда, когда мы пытаемся интерпретировать спинорные операции на основе представления о пространстве-времени. С хорошими примерами этого мы встретимся в § 4.

1
Оглавление
email@scask.ru