3. Спиноры и мировые тензоры

§ 1. Мировые тензоры как спиноры

В данном параграфе мы покажем, что мировые тензоры и, в частности, мировые векторы могут рассматриваться как частные случаи спиноров. Тем самым алгебра мировых тензоров окажется включенной в спинорную алгебру, рассмотренную в гл. 2, § 5. Указанное включение одного типа спинорной алгебры в другой представляет собой частный случай процедуры, описанной в гл. 2, в конце § 2. Соответственно этому индексные метки включенной системы представляют собой собирательные индексы, построенные из определенных групп меток исходной системы, объединенных вместе. В том частном случае, которым мы здесь будем заниматься, метки мировых тензоров будут образовывать пары спинорных меток, одна из которых нештрихованная, а другая — штрихованная. Это видно из формул (1.2.15) и (1.2.23), выражающих компоненты мирового вектора через компоненты спин-вектора. Компоненты мирового вектора билинейны по компонентам спин-вектора и по комплексно-сопряженным компонентам спин-вектора.

Определим набор меток мирового тензора

исходя из спинорных наборов меток [формулы (2.5.1), (2.5.27)], где

Тогда, к примеру, мы сможем пометить спинор (2.5.33) следующими различными способами:

Мы не принимаем здесь правила (обычного в общем случае собирательных индексов), гласящего, что собирательные индексы должны включать индексы одного сорта, встречающиеся в выражении. Действительно, принцип группировки весьма

определенен, так что никакой неоднозначности возникнуть не может. К примеру, каждое из последующих эквивалентных свернутых выражений

может применяться с одинаковым успехом, и опять-таки

Некоторые спиноры могут быть полностью помечены элементами из

Они принадлежат спинорным наборам . Такие спинорные наборы играют особую роль, поскольку при операции комплексного сопряжения они перево-дятся сами в себя. Мы будем называть из такого набора комплексным мировым тензором. Таким образом, операция комплексного сопряжения для такого спинора

приводит к другому спинору того самого вида. Некоторые комплексные мировые тензоры в действительности будут инвариантными относительно операции комплексного сопряжения; они будут называться действительными мировыми тензорами, или просто мировыми тензорами. (В дальнейшем мы кратко остановимся на вопросе обоснования данной терминологии.) Таким образом, действительный мировой тензор удовлетворяет соотношению

Обозначим подмножества состоящие из действительных мировых тензоров, символами соответственно. (Множество представляет собой кольцо действительных скалярных полей на пространстве-времени, или кольцо действительных чисел с

делением, если мы рассматриваем спиноры в одной точке.) Система является тензорной системой, возникающей, как говорилось в гл. 2, § 2, из -модуля . Каждый модуль представляет собой тогда некоторый -модуль, а вся система является замкнутой относительно тензорных операций сложения, тензорного произведения, замены индексов и свертывания. Элементы модуля (или и т. д.) называются (действительными) мировыми векторами.

Если ввести действительные мировые тензоры

то в силу свойств (2.5.3), (2.5.9), (2.5.11), (2.5.25) и (2.5.34) будем иметь

Из (2.5.13) и (2.5.35) вытекают равенства

а поэтому играет роль дельта-символа Кронекера. (Мы предпочитаем использовать здесь символ вместо во» поскольку он согласуется с обозначением а также позволяет избежать возможных недоразумений при введении базисных систем отсчета.) Далее, из (2.5.14), (2.5.15), (2.5.36) и (2.5.37) вытекают равенства

а поэтому играют формально ту же самую роль, что и метрический тензор и обратный ему тензор с нижними и верхними тензорными индексами. И действительно, ииже мы отождествим введенные выше с метрическим тензором и обратным ему тензором.

При обычном способе описания пространства-времени (как в гл. 1) сначала задаются мировые векторы и мировые тензоры. Метрика вводится как особый мировой тензор, определяющий «геометрию» пространства-времени и только после этого дается определение спинора. Более того, чтобы определение спинора было глобально непротиворечивым, пространство-время должно удовлетворять некоторым глобальным топологическим требованиям (гл. 1, § 5). В этом случае спиноры можно интерпретировать в рамках довольно сложной пространственно-временной геометрии, хотя при такой интерпретации и остается неопределенность в общем знаке. Мы можем спросить себя:

действительно ли природа столь сложна? Ведь спинорные поля — это, несомненно, часть природы, описываемой современной физической теорией.

Оказывается, что сложность в значительной степени обусловлена тензорным методом. Если рассматривать (что мы и будем делать в данной книге) спин-векгоры как более фундаментальные объекты, чем мировые векторы, как, быть может, нечто более изначальное, нежели сама пространственно-временная структура, из чего эта частная структура может быть выведена, то указанная сложность в значительной степени исчезает. Действительно, если исходить из спиноров, то мы не получим неопределенности в знаке (поскольку знаки являются частью заданной структуры, а не то, что еще предстоит определить). Получающееся пространство-время автоматически оказывается ориентированным в пространстве и времени и наделенным спиновой структурой (эти его свойства представляются весьма желательными в свете многочисленных экспериментальных данных, см. гл. 1, конец § 5). Даже размерность н сигнатура пространства-времени выступают как «следствия» рассматриваемого нами конкретного спинорного формализма. Сама по себе спинорная алгебра отличается определенной простотой. Сложности, возникают, по-видимому, тогда, когда мы пытаемся интерпретировать спинорные операции на основе представления о пространстве-времени. С хорошими примерами этого мы встретимся в § 4.