§ 9. Спинорное представление коммутаторов

Поскольку риманов тензор кривизны возникает при действии коммутатора производных на векторы и тензоры, аналогичная связь должна иметь место для спиноров кривизны. Это действительно так. Применим разложение (3.4.20) к коммутатору Дай, определенному в (4.2.14):

где

Заметим, что оператор комплексно сопряжен оператору в том смысле, что для любого спинора выполняется равенство

формула (4.4.20)]. Из (4.2.15) и (4.2.16) имеем

и аналогично для Чтобы вычислить действие операторов на спинор, скажем, мы сначала построим самодуальный изотропный бивектор

Затем из тождества Риччи [без кручения, формула (4.2.33)] получаем

(То, что — комплексный бивектор, несущественно.) Теперь подставляем (4.9.6) в это соотношение и используем равенство (4.2.16) (которое пригодно не только для тензоров, но и для спиноров):

т. е.

Заменив тензор Римана соответствующим спинором из 14 6.1) и сокращая в обеих частях равенства, получим

Пусть тогда, применив предложение (3.5.15) при к разности левой и правой частей этого уравнения, получаем

что при симметризации и антисимметризации по дает два уравнения

Соответствующие формулы для штрихованных спин-векторов получаются из (4.9.7) и (4.9.8) путем комплексного сопряжения и применения соотношения (4.9.3) (для большей общности мы также заменяем на

Опустив индекс С (или С), мы также получим

Чтобы вычислить действие операторов и на много индексные спиноры, например представляем в виде суммы прямых произведений спин-векторов и используем свойства (4.9.4) и (4.9.5). Например,

что с учетом формул для Пдвхс и т. д. дает

Общий случай рассматривается по этому образцу. Выполнив комплексное сопряжение, применив формулу (4.9.3) и заменив на мы получаем соответствующую формулу

Можно подставить (4.634) в эти формулы и получить, например, из (4.9.11)

что также можно переписать в виде

Отсюда путем комплексного сопряжения можно получить другие формулы:

Для спиноров кривизны можно получить выражение, аналогичное формуле (4.2.66), подставив вместо в (4.9.11):

первое из этих соотношений можно представить в виде двух равенств [формулы (4.6.34) и (4.6.35)]:

Спинорные формулы данного параграфа выглядят гораздо сложнее тензорных формул, из которых они получены. Тем не менее операторы часто встречаются в комбинации, входящей в и . В этом случае предыдущие формулы могут оказаться особенно ценными. Некоторые приложения будут даны в гл. 5, § 11; см. также формулу (5.8.1) и многочисленные приложения в т. 2.