Конкретные результаты для спиноров и мировых тензоров

Все результаты, полученные до сих пор, не были связаны с размерностью модуля . Однако ввиду того, что спиновое пространство имеет только два измерения, существуют конкретные упрощения, имеющие место в случае введенной нами спинорной системы. Указанные упрощения имеют в своей основе следующее утверждение: всякий спинор, антисимметричный по трем или более индексам (штрихованным или нештрихованным), должен быть равен нулю. Отсюда вытекает, что для каждого или Флрок справедливы соотношения

[Ясно, что в силу равенства (3.3.9) мы не теряем общности рассуждений, рассматривая только три индекса.] Чтобы убедиться в справедливости равенств (3.3.24), рассмотрим компоненты в произвольной спиновой системе отсчета и заметим, что из трех численных спинорных индексов по крайней мере два должны быть равны друг другу. Можно также рассматривать анализируемое утверждение как частный случай утверждения, установленного ранее, после формулы (2.3.1).

Заметим, что частный случай равенств (3.3.24)

снова приводит к тождеству (2.5.21), рассмотренному ранее. По существу, равенства (3.3.24) являются следствием формулы (2.5.21) и формулы, комплексно-сопряженной ей. Чтобы убедиться в этом, мы можем применить эквивалентное соотношение двумя способами, сначала воспользовавшись антисимметрией по а затем антисимметрией по Таким образом получим

После свертки с имеем откуда в силу (3.3.26) вытекает что и требовалось.

В случае -мерных тензоров в существует -элементный базис запишем тождество, соответствующее равенствам (3.3.24), а именно

Существует также соотношение, отвечающее формуле (2.5.24). Чтобы записать его, определим тензоры компоненты которых в заданном базисе имеют вид

в зависимости от того, является «я четной перестановкой чисел нечетной перестановкой чисел или вообще не является перестановкой чисел [Такое определение согласуется с формулой (2.3.4).] Величины (3.3.28) называются символами Леви-Чивиты. Имеем

что устанавливается путем сравнения компонент, стоящих в левой и правой частях. Следовательно, если тензор

кососимметричен по то

Отсюда вытекает [как и в случае (2.5.24)], что любой набор антисимметричных индексов может быть «расщеплен» с помощью -тензоров.

В частном случае (т. е. когда отсутствует) полученный результат показывает, что все полностью антисимметричные элементы модуля пропорциональны друг другу. (То же самое утверждение имеет место в случае ) В общем случае нет причины выделять один из них, выбор тензора произвольно зависит от конкретного выбора базиса Однако существование внутреннего произведения для спиноров однозначно выделяет конкретный спинор [соответствующий базис для которого (3.3.28) играет роль спиновой системы отсчета]. Аналогично, наличие мирового метрического тензора и ориентации служит для выделения конкретных антисимметричных элементов называемых в расчетах альтернирующими тензорами. Однако, имея в виду наш общий подход, ставящий целью построить мировой тензор на основе спинорного формализма, мы будем предпочитать, прежде всего, определение тензора на основе спинора , а именно

Такой тензор представляет собой действительный тензор, поскольку комплексное сопряжение меняет местами два члена в правой части и заменяет на Он кососимметричен по поскольку

и аналогично кососимметричен по Посмотрим, наконец, что будет при перемене местами и с. С использованием -тождества (2.5.21) и тождества, комплексно-сопряженного ему, напишем

Отсюда вытекает, что тензор еаьса, являющийся, таким образом, кососимметричным по каждой из частично перекрывающихся пар является полностью кососимметричным по

Мировой тензор получается из еаъси обычным путем, т. е. путем поднятия индексов с помощью метрики Поскольку такая процедура отвечает поднятию спинорных индексов, мы имеем

Используя (2.5.12) и (2.5.25), получаем из (3.3.31), (3.3.35)

Введем ограниченную тетраду Минковского По крайней мере локально это будет соответствовать спиновой системе отсчета ввиду (3.1.20). Имеем

Поднимая индексы [с использованием формулы (3.1.27)], получаем

Таким образом,

Если мы имеем (3.3.36), то вычисление (3.3.37) необходимо лишь для определения знака элемента поскольку соотношение (3.3.36) может быть представлено в виде

Элемент оказывается положительным по той причине, что — собственная тетрада. Если бы мы выбрали несобственную тетраду, то получили бы вот . Для собственной тетрады Минковского именно тензоры ваьса и представляют

собой символы Леви-Чивиты, тогда как для несобственной тетрады символами Леви-Чивиты являются тензоры — и Из (3.3.29) получаем

Соответствующим образом свертывая один верхний и один нижний индекс (либо осуществляя прямую покомпонентную проверку), получаем

и (3.3.36). Тензор

будет играть важную роль в следующем параграфе. Отметим соотношение

вытекающее из выражений (3.3.43) и непосредственно из (3.3.44). Заметим также, что для произвольного тензора