Конформно-плоское пространство-время

Все изложенное почти без изменений переносится на случай, когда вместо мы имеем некоторое конформно-плоское пространство-время Мы можем предположить, что подходящим: выбором конформного множителя метрика в окрестности светового конуса может быть приведена к плоской метрике в соответствующей окрестности светового конуса в пространстве-Минковского М. Но необходима осторожность при интерпретации параметра Это относится к уравнениям (5.12.23) и (5.12.24). Первое из них позволяет интерпретировать как яркостный параметр на У? [17, 162]. В общем случае равенство (5.12.22) не имеет места, но это равенство и не требуется, чтобы доказать равенство нулю комбинации (5.12.26) [оно лишь упрощает вывод равенства (5.12.23) в случае пространства Минковского М. При конформном изменении масштаба величина ведет себя следующим образом:

где - значение конформного множителя в точке в соответствии со стандартными обозначениями . Причина, по которой конформным множителем в точке Р определяется поведение величины при конформном изменении масштаба, заключается в том, что соотношение (5.12.23) само по себе не определяет значения а лишь фиксирует с точностью: до общего масштабного множителя для каждой из образующих конуса в отдельности. Масштабный множитель определяется требованием, чтобы в случае точки близкой к Р, вектор положения точки относительно точки Р был равен — Эта величина при конформном изменении масштаба ведет себя как. расстояние, а поскольку произведение выбрано инвариантным относительно этого преобразования, величина тоже ведет себя как расстояние в точке Р, т. е. умножается на Второй множитель обеспечивает согласие с формулами где мы приняли значения [см. пояснение после формулы (5.12.7)]. Масштабное поведение величины, со определяется соотношением

совместимым с сохранением равенства (5.12.25). Действительно, в формуле (5.12.15) можно заменить величину более общим скаляром Г типа (конформного веса

удовлетворяющим уравнениям

Для этого достаточно взять линейные комбинации выражений вида (5.12.15) с разными Из сказанного в гл. 4, § 15 следует, что если — сфера, то величины Г будут спиновыми сферическими гармониками с [см. предложение (4.15.58)]. В общем случае величины Г являются некоторым обобщением спиновых сферических гармоник для 9. В случае предельно малых сфер величины Г стремятся к стандартным спиновым сферическим гармоникам для

Этим указывается путь приписания интегралам (5.12.6) некоторого смысла — на основе выражения (5.12.15) или более общего выражения — (5.12.15) с заменой величины величиной Г, удовлетворяющей условиям (5.12.32). Непосредственно пользоваться формулой (5.12.6) затруднительно из-за необходимости интегрирования спинорной величины по в отсутствие какого-либо естественного параллелизма, введенного на Один из способов преодоления этой трудности состоит в привязке подынтегрального выражения в точке Р. Такая процедура однозначна благодаря инвариантности подынтегрального выражения в формуле (5.12.6) относительно спинового и бустового растяжений

а также относительно конформного изменения масштаба

в последнем случае выполняется соотношение (5.12.30), мы имеем в соответствии с преобразованием (5.6.34). (При желании можно, изменив масштаб спинора осуществить его параллельный перенос вдоль образующих светового конуса и связать тем самым величины в точке с величинами в точке Р.) Далее интегрирование можно выполнить в касательном пространстве в точке Р и [в силу формулы (5.12.30)] результат будет представлять собой конформную плотность веса —1.

Отметим, что хотя при выводе соотношений (5.12.23) и (5.12.24) из соотношения (5.12.22) было использовано равенство справедливость формулы (5.12.6) не зависит от того, являются ли эти или какие-либо другие компоненты спинора Риччи равными нулю. Достаточно предположить выполнение соотношений (5.12.23) и (5.12.24), а для этого не требуется равенство (5.12.22). Обращение же в нуль компонент (5.12.27) спинора Вейля существенно для доказательства. Более того, как следствие соотношений (5.12.23) и (5.12.24) остальные

компоненты спинора Вейля и 4% тоже должны быть равны нулю, так что нам фактически необходимо равенство

на . Любопытно, однако, что условие (5.12.13) не потребовалось при доказательстве справедливости равенства (5.12.17) в области Ф между (хотя оно неявно используется на

Конформная инвариантность спинора отмечалась в § 6 (и будет доказана в гл. 6, § 8). Небезынтересно отметить, что оператор [из формулы (5.6.33)], фигурирующий в формуле (5.12.6) [и (5.12.16)], не единственный используемый здесь конформно-инвариантный оператор. В формуле (5.12.18) фактически используется связанный с последним конформно-инвариантный оператор поскольку соотношение (5.12.18) можно переписать в виде

Отсюда видно, что есть конформная плотность веса —1 (так как величины являются конформными плотностями весов, соответственно, в дополнение к плотности имеющей конформный вес —2. Поэтому можно переписать соотношение (5.12.17) в конформноинвариантном виде

указывающем на то, что А— конформная плотность веса —2 (см. также замечание в конце § 6). Конформная инвариантность величин или также становится явной из следующей формы записи:

где (число индексов равно

поскольку комбинация (5.12.39) конформных плотностей веса, соответственно, —1 и 0, как легко видеть из (5.6.15), будет конформной плотностью веса (дополнительно к преобразованию при