Спинорная структура для некомпактных моделей пространства-времени

Мы завершим данный параграф упоминанием без доказательства очень простого критерия для устанавливающего существование спинорной структуры в случае, когда многообразие некомпактно (т. е., грубо говоря, «незамкнуто»). Фактически некомпактность следует из очень «разумного» физического требования, состоящего в том, что многообразие не должно содержать замкнутых времениподобных кривых [11] (см. также [140; 84, с. 189]).

Теорема [76]

Если — некомпактное пространство-время, то необходимым и достаточным условием для того, чтобы оно имело спинорную структуру, является существование четырех непрерывных векторных полей на образующих тетраду Минковского в касательном пространстве в каждой точке многообразия

Достаточность условия (1.5.6) самоочевидна. В еамом деле, из непрерывности тетрад Минковского вытекает, что в соответствии с требованиями (1.5.1) и (1.5.2) пространство-время является ориентируемым во времени и в пространстве — и без потери общности мы можем полагать, что все тетрады Минковского ограничены. Выбирая фиксированное абстрактное («ограниченное») координатное пространство Минковского (играющее роль пространства в вышеприведенном рассмотрении, но сейчас рассмотрение проще), мы можем отнести к нему каждый изотропный флаг в используя флаговое представление в локальной тетраде Минковского в соответствии с (1.5.6). Это дает нам возможность сохранить четность числа вращений на угол выполняемых произвольным изотропным флагом на так что спиновая структура гарантирована, как и в (1.5.4).

Заметим, что для неодносвязного пространства-времени выбор спинорной структуры фиксирован, как только выбрано поле тетрад Минковского в соответствии с (1.5.6), причем обычно указанный выбор топологически неоднозначен. Но даже для односвязного многобразия может иметь место топологическая неоднозначность поля тетрад Минковского. Полезным примером здесь может служить статическая вселенная Эйнштейна (она будет более подробно рассмотрена в гл. 9, § 2, 5), для которой имеет топологию соответствует временному направлению). Здесь -система в произвольной точке может, например, быть переведена в непрерывное поле 3-систем над либо путем правой трансляции [задаваемой преобразованиями в себя, определяемыми кватернионными преобразованиями (1.5.5) специального вида либо путем левой трансляции (задаваемой преборазованиями специального вида Они являются топологически неэквивалентными даже в том случае, когда порождают одну и ту же (единственную) спиновую структуру.

Как мы уже отмечали, предположение о некомпактности пространства-времени фигурирующее в теореме (1.5.6), является весьма естественным с физической точки зрения. Имеются также весьма веские основания думать, что физическое пространство-время действительно должно обладать глобальной спинорной структурой. Как сильное указание на ориентируемость во времени можно рассматривать временною асимметрию статистической физики, которая на умеренно локальном уровне, по-видимому, задает временною ориентацию во всех точках физического пространства-времени. Подобным же образом ориентируемость в пространстве могла бы следовать из (по-видимому, универсальной) отражательной асимметрии слабых взаимодействий (Р-неинвариантности) и -распада (СР-неинвариантности),

очевидно, задающих естественную ориентацию пространства повсюду в пространстве-времени (см. примечание на стр. 20). Наконец, существование спинорных полей в физике, повиди-мому, указывает на то, что физическое пространство-время должно обладать спиновой структурой (см. примечание на стр. 68, 69). Следовательно, физические соображения в силу теоремы (1.5.6) требуют, по-видимому, существования глобально определенных полей ограниченных тетрад Минковского.