§ 9. Конформная инвариантность различных полевых величин

Напомним, что тензоры знергии-импульса полей Максвелла и Дирака — Вейля являются бесследовыми. Это свойство, как и можно было ожидать, тесно связано с конформной инвариантностью. Рассмотрим бесследовый симметричный тензор общего вида

имеющий нулевую дивергенцию:

Поскольку тензор квадратичен по полям, можно предположить, что он является конформной плотностью веса —2:

При таком предположении уравнение (5.9.1) действительно будет конформно-инвариантным, поскольку в силу формулы (5.5.15)

Аналогичные (но несколько более короткие) вычисления показывают, что условие обращения в нуль дивергенции вектора тока также является конформно-инвариантным, если

Это можно показать и другим путем. Например, в координатном базисе справедливо классическое выражение [166]

где Применив к нему преобразование (5.6.1) при фиксированных координатах, найдем так что выражение в фигурных скобках в (5.9.4) имеет конформный вес 0, если имеет конформный вес —4 [что согласуется с (5.9.3)]. Поэтому все выражение есть конформная плотность (веса —4), а это означает, что равенство его нулю является конформноинвариантным свойством.

Существует также способ доказательства этого утверждения, не зависящий от координат. Заметим, что дуальной к будет 3-форма

в обозначениях формул (3.4.29) и (4.3.10) применительно к 4 измерениям, как в гл. 4, § 13 (латинские индексы!). Следовательно, с учетом формул (4.3.14) и (3.4.32) имеем

Это означает, что внешняя производная от есть просто дивергенция тока Поскольку, согласно формуле (3.3.31),

с учетом формул (5.9.3) и (5.9.5) будем иметь Значит, так как внешняя производная не зависит от выбора ковариантной производной. Таким образом,

как и ранее.

Выражения являются частными случаями более общей системы конформно-инвариантных выражений, которая будет рассмотрена в т. 2 [формула (6.7.33)].

Обратимся теперь к доказательству конформной инвариантности уравнений Максвелла. Это можно сделать различными способами. Уравнения без источников имеют вид [формула (5.1.52)] Уллфлв , как мы уже показали [формула (5.7.17)], являются конформно-инвариантными, если

откуда с учетом (5.1.39) получаем

Если имеются источники поля, то уравнения (5.1.52) приобретают вид

Принимая во внимание (5.7.20) и (5.9.3), мы видим, что обе части этого равенства представляют собой конформную плотность веса —3; тем самым требуемое свойство инвариантности доказано.

Убедиться в конформной инвариантности уравнений Максвелла можно также с помощью формализма § 1. Определение тензора основанное на соотношениях (5.1.13) и (5.1.37), не изменяется при конформном изменении масштаба и является совместным с соотношениями (5.9.9). Следовательно, первая половина уравнений Максвелла (5.1.36) инвариантна относительно этого преобразования. В доказательство инвариантности второй половины уравнений Максвелла (5.1.38) данный формализм не вносит ничего нового, и мы возвращаемся к приведенным выше рассуждениям. Заметим, что выбор конформного веса для естественным образом вытекающий из теории заряженных полей, совпадает с тем, который необходим для обеспечения конформной инвариантности уравнений Максвелла. Такой вывод не является безусловным, поскольку инвариантность уравнений Максвелла не обязательно означает, что связь с заряженными полями должна быть конформно-инвариантной. В случае (линеаризованного) гравитационного поля подобное совпадение не имеет места.

Можно также воспользоваться для записи уравнений Максвелла дифференциальными формами и таким путем еще раз продемонстрировать их конформную инвариантность. Полагая

в силу формул (4.3.14) и (5.1.37) будем иметь

т. е.

Последовательно применяя соотношения (4.3.14), (3.4.27), (5.1.38), (5.9.5), находим

Уравнения Максвелла (5.1.38) оказываются эквивалентными второму из соотношений

тогда как первое непосредственно воспроизводит уравнения Максвелла первой группы (5.1.36). Как мы уже знаем, из (5.1.13) вытекает, что откуда в силу равенства (5.9.12)

имеем , следовательно тогда, выбрав соответствует равенству (5.9.3)], найдем, что все уравнения (5.9.13) [а также (5.9.12)] являются соотношениями между, величинами нулевого конформного веса и потому конформно-инвариантны. [Несмотря на то, что в уравнения (5.9.13) метрика, казалось бы, не входит, фактически это не так, поскольку в соотношение между и входит конформная метрика.]

Интересно отметить, что условие калибровки Лоренца

[формула (5.1.47)], имеющее форму уравнения (5.1.54) (которое вытекает из уравнений Максвелла), конформно-инвариантно, если величине (как и току ) приписать конформный вес —2. Но это не тот вес, который придает конформную инвариантность соотношению (5.1.37). Поэтому максвелловскую теорию в калибровке Лоренца следует рассматривать как не являющуюся конформно-инвариантной теорией.