§ 6. Преобразования Лоренца

В качестве приложения результатов, полученных выше, мы рассмотрим структуру преобразований Лоренца. Наш подход будет несколько иным, нежели в гл. 1, § 2 и 3. Некоторые свойства преобразований Лоренца будут установлены заново, что

поможет лучше понять связь между этими двумя точками зрения.

В частности, мы дадим прямое доказательство ключевого результата гл. 1, § 2 — предложения (1.2.27), которое гласит, что всякому ограниченному преобразованию Лоренца соответствуют два и только два спиновых преобразования и наоборот. Однако мы пойдем дальше и рассмотрим не только собственные, но также несобственные преобразования Лоренца. (Так же, как в § 5, мы будем рассматривать спиноры и тензоры только в фиксированной точке пространства. Таким образом, будут соответственно кольцами комплексных и действительных чисел с делением.)

В наших обозначениях указанные активные преобразования записываются в виде

Здесь мы требуем выполнения условий и Искомая связь между этими преобразованиями получается из требования, чтобы при действии на любой вектор оба они давали один и тот же результат, причем спиновая форма записи преобразования вектора имеет вид

Так как элементы отвечают одному и тому же отображению из должно выполняться соотношение

Следовательно, мы должны показать, что если есть ограниченное преобразование Лоренца, то оно всегда «расщепляется» согласно формуле (3.6.3), где есть спиновое преобразование, определенное с точностью до знака; и наоборот, если есть спиновое преобразование, то в (3.6.3) всегда соответствует ограниченному преобразованию Лоренца. Запись (3.6.3) в компонентах по отношению к стандартным системам координат приведена в формуле (1.2.26).

Для того чтобы матрица отвечала преобразованию Лоренца, она должна быть действительной и оставлять метрику инвариантной:

Она будет ограниченной тогда и только тогда, когда она принадлежит тому же непрерывному семейству, что и матрица тождественного преобразования

[Линейное отображение между векторными пространствами и всегда можно записать в виде е. отображение есть умножение на матрицу; см. формулу (2.2.37). Это отображение индуцирует линейное преобразование удовлетворяющее условию а значит, линейное преобразование . Если мы имеем или, что эквивалентно,

Таким образом, — инвариант отображения в том (и только в том) случае, если Чтобы матрица отвечала спиновому преобразованию, она должна иметь единичный детерминант. Это можно записать в виде

так как правая часть кососимметрична по А, В и, следовательно, пропорциональна согласно формуле (2.5.23), причем коэффициент пропорциональности имеет вид

Это же соотношение можно получить, рассматривая соотношение (3.6.6) в компонентной записи [формула (2.5.70)]. Условие (3.6.6) означает, что -спинор не изменяется при спиновых преобразованиях.

Пусть задано спиновое преобразование а преобразование определено соотношением (3.6.3). Очевидно, что действительно и удовлетворяет соотношению

так что есть преобразование Лоренца. Более того, преобразование ограничено, поскольку можно непрерывно деформировать до тождественного спинового преобразования следовательно, также непрерывно деформируется до — тождественного преобразования Лоренца. Далее мы покажем, что всякое преобразование представимое в виде (3.6.3), ограничено.

Пусть, наоборот, есть заданное преобразование Лоренца. Оно сохраняет метрику и, следовательно, переводит изотропные векторы в изотропные. В действительности оно переводит в себя множество комплексных изотропных тензоров, так как в силу равенства (3.6.5) мы имеем независимо от того, комплексный или действительный вектор Из (3.2.6) заключаем, что любой комплексный изотропный вектор представим в виде Таким образом,

Это равенство выполняется независимо от выбора ил и . Следовательно, на основании предложения (3.5.8) можно получить для одно из следующих представлений:

Это должно выполняться для всех ил. Более того, для всех должно выполняться одно и то же из двух соотношений (3.6.10). В противном случае в силу непрерывности при некотором ненулевом значении должны были бы иметь место оба соотношения, и тогда из (3.5.6) мы умели бы откуда в нарушение требования несингулярности преобразования то, что преобразования Лоренца не могут быть сингулярными, следует прямо из с формулой (3.6.19) ниже]. С учетом предложения (3.5.8) из (3.6.10) заключаем, что можно представить одним из следующих способов:

Можно отбросить поскольку тогда а также IV, так как в этом случае в обоих случаях преобразование было бы сингулярным.

Остаются возможности II и III. В обоих этих случаях условие действительности преобразования дает

соответственно. Таким образом, в силу предложения (3.5.2) имеем

откуда следует, что должны быть действительными. Включив множитель в определение величины —

в определение величины мы получим в зависимости от того, будет ли положительным или отрицательным а в случае II, а в случае III, четыре возможных варианта:

Подставляя это в (3.6.5), находим что по модулю равны единице. Если мы нормируем эти детерминанты так, что будут выполняться условия

(фазовый множитель включен в 0, или то в каждом случае в (3.6.14) и (3.6.15) получим с точностью до знака соответственно.

Сворачивая каждое из выражений (3.6.14) и (3.6.15) с изотропным вектором направленным в будущее, мы видим, что результирующий вектор направлен в будущее в том и только в том случае, если в этих выражениях выбран знак плюс [формулы (3.2.2) и (3.2.4)]. Таким образом, знак плюс отвечает ортохронным преобразованиям Лоренца. Преобразования со знаком минус включают обращение времени. Чтобы выяснить, какое из преобразований (3.6.14) и (3.6.15) является собственным, достаточно рассмотреть действие преобразования на антисимметричный единичный тензор [Тетрада Минковского будет собственной или несобственной в зависимости от знака в правой части равенства с формулой (3.3.37); таким образом, тензор еаьсй определяет ориентацию векторного пространства Минковского.] Имеем

где знак плюс отвечает тому и только тому случаю, когда есть собственное преобразование. Подставляя (3.6.14) и (3.6.15) в (3.6.17) и используя определение (3.3.31) и эквивалентную форму записи условий (3.6.16)

мы находим, что вариант (3.6.15) с любым знаком отвечает собственному преобразованию, а вариант (3.6.14) с любым знаком — несобственному. Следовательно, ограниченным преобразованием Лоренца отвечает вариант (3.6.15) со знаком плюс. Полагая получаем требуемое представление (3.6.3).

Его можно также получить, заметив, что преобразования (3.6.14) нельзя непрерывно деформировать до тождественного преобразования Лоренца Действительно, любой непрерывный путь в пространстве матриц, начинающийся с вида (3.6.14) и оканчивающийся в приводит в некоторой точке к матрице, удовлетворяющей одновременно как условию (3.6 14), так и условию (3.6.15). В силу предложения (3.5.3) матрица тогда представима в виде прямого произведения четырех одноиндексных спиноров, а значит, сингулярна. Ограниченные матрицы (т. е. матрицы, которые путем непрерывной деформации переводятся в единичную матрицу) и матрицы обратного знака образуют класс собственных преобразований Лоренца. Следовательно, они имеют вид (3.6.5).

Можно рассмотреть структуру преобразования Лоренца в свете найденного нами спинорного представления. Заметим, что, поднимая индекс и опуская индекс в выражении (3.6.5), мы получаем откуда следует, что матрица обратная матрице имеет вид

Применяя ту же процедуру к (3.6.18), получаем

откуда следует, что обращение отображений дается соотношениями