Производная по координатам

Чтобы облегчить вычисления, иногда удобно ввести «произвольные» связности, которые не связаны ни с какой дополнительной структурой на Как мы сейчас увидим, локально существует много подобных связностей. Полезный пример — связность, обусловленная определением «производной по координатам» в некоторой координатной системе. В рамках нашего подхода существует два способа определить понятие ковариантной производной. Самый простой из них состоит в том, чтобы выразить все тензорные величины через их компоненты в некоторой координатной системе, а затем рассматривать наборы частных производных этих компонент по координатам . В результате получаем множество скалярных полей, или, что эквивалентно, множество функций координат Обычно так поступают, если требуется провести явные вычисления. Другой способ — восстановить тензорные величины, исходя из заданного набора скалярных полей, которые рассматриваются как компоненты тензоров в данной координатной системе. Тогда производная по координатам позволит переходить от одних тензоров к другим или, говоря кратко, будет задавать связность на многообразии Однако эта связность зависит от выбора координат и различные координатные системы будут приводить к разным связностям.

Проанализируем данный вопрос более детально. Рассмотрим локальную координатную систему . Для вычислёния компонент тензора мы используем координатный базис в (иногда называемый «естественным» базисом), который определен формулой (4.1.33):

Дуальный базис (4.1.34) таков:

Канонические образы векторов и соответственно есть Таким образом, приняв обозначение для [формула мы можем переписать (4.2.54) в виде

Тогда можно считать, что определяется через величину равенством

Компоненты тензора в этой системе координат принимают вид

где использована формула (2.3.13). Частные производные по записываются в виде

Множество скаляров (4.2.57) соответствует первому из двух определений производной по координатам, о которых говорилось выше. Чтобы получить второе определение, мы, используя стандартную процедуру (2.3.14), сконструируем тензор, компоненты которого совпадают с (4.2.57). Этот тензор может быть записан в виде

Оператор определяет отображение из которое, очевидно, обладает всеми свойствами оператора ковариантной производной. Но, вообще говоря, этот оператор не имеет инвариантного смысла, поскольку определение оператора др связано со специальной системой координат Тем не менее оператор др иногда оказывается полезным, поскольку

он обладает особенно простыми свойствами в силу коммутативности частных производных Таким образом, мы имеем

Поэтому кручение и кривизна, определяемые оператором да, равны нулю. (Можно даже показать [49], что любой оператор ковариантной производной, для которого равны нулю и кривизна и кручение, локально представим в виде оператора частной производной в некоторой системе координат

Оператор особенно просто выражается через свои компоненты в системе координат Рассмотрим теперь несколько более сложную формулу для компонент заданного оператора ковариантной производной Для большей общности мы будем рассматривать базис и дуальный ему базис в который не обязательно совпадает с естественным базисом. Если выбранный базис можно преобразовать в естественный, перейдя к некоторой координатной системе, то его называют голономным, а в противном случае — неголономным. Таким образом, наши рассуждения включают случай неголономного базиса. Многообразия, допускающие введение глобального неголономного базиса, встречаются гораздо чаще, чем такие, которые допускают глобально определенный голономный базис. (Например, сфера см. примечания на с. 92, 93.)

Нам потребуются компоненты производных базисных элементов. Определим символы связности следующим образом:

где означает Поскольку принимает постоянные значения 0 и 1, мы имеем Отсюда следует

Теперь рассмотрим компоненты ковариантной производной вектора Имеем

в силу определения (4.2.60). Аналогично для компонент ковариантной производной имеем

в силу равенства (4.2.61). Для компонент ковариантной производной произвольного тензора получаем

В специальном случае, когда есть координатный базис (при в соответствии с (4.1.41) оператор может быть записан в виде если он действует на скаляры. В этом случае часть тензора кососимметричная по а и Р, определяет компоненты кручения, поскольку

Таким образом, тензор симметричен по а и 0, если кручение равно нулю. В то же время для общего неголономного случая не существует определенного соотношения между и кручением. В самом деле, в общем случае нет способа вычислить тензор кручения, зная только скалярные поля . Требуется дополнительная информация, например явное выражение для этих величин через некоторые скаляры

Предположим на время, что связность симметрична, но — величины общего вида (неголономные). Мы можем вычислить компоненты тензора кривизны по формуле

[формула (4.2.31)]. Получаем

Из (4.2.31) следует, что учет кручения приведет к появлению в правой части дополнительного слагаемого

Если же кручение отсутствует и выбран координатный базис (4.2.53), то мы получаем привычную классическую формулу

Существует другой способ получения эти формул случае голономного (координатного) базиса. Он основан на соотношении (4.2.51), в котором положено а действие этого оператора вычисляется по формуле (4.2.58). Сравнивая (4.2.62) с разложением (4.2.46) по компонентам, находим

Мы имеем а потому, выписывая компоненты (4.2.51) и подставляя в эти выражения (4.2.70), получаем требуемую формулу для (для любого кручения).

Аналогично выражение (4.2.56) для через кососимметричную часть тензора в координатном базисе получается вычислением компонент (4.2.50), где следует положить

Иногда в формулах, содержащих производные по координатам, удобно перейти к обозначениям с абстрактными индексами (т. е. принять второе определение производной по координатам из двух упомянутых выше). Преимущества таких обозначений проявляются при вычислении компонент ковариантной производной. Если в первом случае мы явно должны указывать базис то во втором случае в тех же формулах этого не требуется. Так, например, фундаментальное уравнение (4.2.62) в координатном базисе

можно переписать, пользуясь абстрактными индексами, в виде

где — тензор, определяемый следующим образом:

Разумеется, так же как др, тензор зависит от выбранной системы координат Тем не менее это действительно тензор (в том же смысле, в каком есть скаляр). Фактически при мы имеем [формула (4.2.70) и равенство (4.2.72) становится частным случаем соотношения (4.2.46).

Подчеркнем, что величины, имеющие смысл координат, такие, как и компоненты тензора, такие, как в нашем подходе являются скалярами по определению (в том смысле, что

они являются элементами множества ). В классическом подходе это не так. Классически скаляры определяются как инварианты преобразований координат. Например, в классических обозначениях компоненты обычно записываются в виде , но отдельно взятая компонента вектора не может рассматриваться как скаляр Нельзя заменить на о и получить для поскольку ковариантная производная действует не на отдельные компоненты, а на тензор в целом. С этой точки зрения обозначение А», а нелогично и может привести к ошибкам в вычислениях. (Обозначение же а для производной по координатам вполне логично: действует на отдельные компоненты.) Наш подход и соответствующие обозначения, принятые в книге, позволяют обойти эти неоднозначности. Если мы пишем то действительно подразумеваем координатном базисе). Компоненты с в классическом выражении для должны записываться в виде что отличается от слагаемым Абстрактный индекс разумеется, не может принимать численные значения.