Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Метод абстрактных индексов и спинорная алгебра§ 1. Обоснование метода абстрактных индексовВ гл. 1 мы ввели понятие спин-вектора и выяснили, что его по существу можно представить как изотропный флаг в векторном пространстве Минковского, но с дополнительным свойством: при повороте на Чуть позднее (в § 5) мы изложим алгебру спиноров. Основная идея, которой мы будем при этом руководствоваться, состоит в том, что спиноры могут быть построены на основе представления о спиновом пространстве, подобно тому как тензоры строятся на основе представления о векторном пространстве. В результате выяснится (гл. 3, § 1), что алгебра мировых тензоров в пространстве-времени содержится в спинорной алгебре. Таким образом, спиновое пространство в известном смысле более фундаментально, чем пространство мировых векторов. С концептуальной точки зрения весьма ценно, что спиновое пространство имеет четкую геометрическую пространственно-временную интерпретацию, поскольку это позволяет избежать излишней абстрактности, затемняющей понятие спинора. Хотя в этой и последующих главах мы будем описывать спиноры и спинорные операции в основном в рамках алгебраического подхода, тем не менее каждый такой объект и каждая такая операция имеют глубокий геометрический смысл при пространственно-временном подходе. Однако наше алгебраическое описание никоим образом не будет опираться на геометрическую интерпретацию. Наши рассуждения могут быть логически независимыми от геометрической подоплеки, изложенной в гл. 1. Для описания интересующих нас структур мы воспользуемся алгебраическими формулировками, что фактически позволяет пересмотреть всю логику рассуждений. Мы могли бы определить пространственно-временною геометрию, исходя из геометрических структур, которые предстоит построить, и, как только будет ухвачена основная идея, все это покажется весьма простым и естественным. Так что в конечном итоге мы сможем счесть алгебраические правила, определяющие спинорную систему, более первичными, нежели (довольно сложные) явно геометрические построения гл. 1. Наш алгебраический подход охватит даже понятие спинорного объекта. Так что при строгом изложении спинорной алгебры вовсе нет необходимости основываться на приведенных в гл. 1 геометрии и топологии. В общем мы увидим, что геометрические построения будут иметь главным образом концептуальное значение, а для подробных выкладок будет необходим алгебраический метод. Спинорная алгебра, которую мы намерены построить, будет содержать два разных типа обобщений развитой в гл. 1, § 5 концепции спинового пространства. Прежде всего, оказывается удобным рассматривать не просто спин-вектор в одной-единственной точке пространства-времени, а спин-векторные поля. Это обобщение подобно переходу от понятия вектора в точке к понятию векторного поля. Над мировыми векторами в уединенной точке пространства-времени можно производить операции сложения, умножения на скаляр и скалярного произведения. Такие векторы образуют векторное пространство Минковского, называемое касательным пространством в точке над кольцом скаляров в этой точке с делением. Над векторными полями можно производить точно такие же операции. Например, при сложении двух векторных полей мы, чтобы получить результирующее векторное поле, просто суммируем два вектора в каждой точке. При умножении на скаляр, когда векторное поле нужно умножить на скалярное, значение скалярного поля в каждой точке умножается на вектор в этой точке. Знакомые нам законы (1.1.1), справедливые в векторном пространстве, остаются в силе для векторных и скалярных полей. Здесь возникает только одно новое свойство: скалярные поля образуют лишь коммутативное кольцо с единицей, но не кольцо с делением. (Например, если может оказаться, что Аналогично, обобщая концепцию спинового пространства — двумерного векторного пространства над кольцом комплексных чисел с делением — мы вводим понятие модуля спин-векторных полей. Тогда скаляры должны быть комплексными скалярными полями, удовлетворяющими определенным требованиям гладкости. Спин-векторным полем определяется в каждой точке пространства-времени изотропный флаг. Изотропный флаг в точке — это некоторая структура в касательном пространстве в этой точке. Такое касательное пространство является векторным пространством Минковского мировых векторов в данной точке. Кроме того, там должны выполняться определенные условия гладкости, чтобы изотропный флаг мог изменяться от точки к точке. И наконец, должны удовлетворяться определенные топологические требования, вытекающие из глобальной непротиворечивости понятия спинорного объекта. Все это будет подразумеваться в аксиомах той конкретной системы, которую мы собираемся построить. По существу наше первое обобщение включает в себя переход от векторного пространства над кольцом с делением к модулю над кольцом. Второе обобщение содержит переход от «унивалентных» объектов (спин-векторов) к «поливалентным» объектам (спинорам). Это обобщение строится подобно тому, как от понятия обычного вектора переходят к понятию тензора. Процедура построения совершенно одинакова вне зависимости от того, исходим ли мы из (спин-) векторов в одной точке, или из (спин-) векторных полей. В общем мы не будем сильно вдаваться в подробности по поводу типа системы, с которой имеем дело. Мы сможем значительно развить второе обобщение еще до того как начнем вникать в подробности первого.
|
1 |
Оглавление
|