Главная > Спиноры и пространство-время, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Метод абстрактных индексов и спинорная алгебра

§ 1. Обоснование метода абстрактных индексов

В гл. 1 мы ввели понятие спин-вектора и выяснили, что его по существу можно представить как изотропный флаг в векторном пространстве Минковского, но с дополнительным свойством: при повороте на вокруг любой оси он возвращается не в исходное состояние, а в состояние с другим спин-вектором, ассоциированным с тем же самым изотропным флагом, но «отрицательным» по отношению к исходному спин-вектору. Спин-векторы образуют двумерное комплексное векторное пространство, так называемое спиновое пространство, на котором определено еще и кососимметричное внутреннее произведение. Опираясь на представление о пространстве-времени, всем операциям можно дать явно геометрическую, лоренц-инвариантную интерпретацию.

Чуть позднее (в § 5) мы изложим алгебру спиноров. Основная идея, которой мы будем при этом руководствоваться, состоит в том, что спиноры могут быть построены на основе представления о спиновом пространстве, подобно тому как тензоры строятся на основе представления о векторном пространстве. В результате выяснится (гл. 3, § 1), что алгебра мировых тензоров в пространстве-времени содержится в спинорной алгебре. Таким образом, спиновое пространство в известном смысле более фундаментально, чем пространство мировых векторов. С концептуальной точки зрения весьма ценно, что спиновое пространство имеет четкую геометрическую пространственно-временную интерпретацию, поскольку это позволяет избежать излишней абстрактности, затемняющей понятие спинора. Хотя в этой и последующих главах мы будем описывать спиноры и спинорные операции в основном в рамках алгебраического подхода, тем не менее каждый такой объект и каждая такая операция имеют глубокий геометрический смысл при пространственно-временном подходе.

Однако наше алгебраическое описание никоим образом не будет опираться на геометрическую интерпретацию. Наши рассуждения могут быть логически независимыми от

геометрической подоплеки, изложенной в гл. 1. Для описания интересующих нас структур мы воспользуемся алгебраическими формулировками, что фактически позволяет пересмотреть всю логику рассуждений. Мы могли бы определить пространственно-временною геометрию, исходя из геометрических структур, которые предстоит построить, и, как только будет ухвачена основная идея, все это покажется весьма простым и естественным. Так что в конечном итоге мы сможем счесть алгебраические правила, определяющие спинорную систему, более первичными, нежели (довольно сложные) явно геометрические построения гл. 1. Наш алгебраический подход охватит даже понятие спинорного объекта. Так что при строгом изложении спинорной алгебры вовсе нет необходимости основываться на приведенных в гл. 1 геометрии и топологии. В общем мы увидим, что геометрические построения будут иметь главным образом концептуальное значение, а для подробных выкладок будет необходим алгебраический метод.

Спинорная алгебра, которую мы намерены построить, будет содержать два разных типа обобщений развитой в гл. 1, § 5 концепции спинового пространства. Прежде всего, оказывается удобным рассматривать не просто спин-вектор в одной-единственной точке пространства-времени, а спин-векторные поля. Это обобщение подобно переходу от понятия вектора в точке к понятию векторного поля. Над мировыми векторами в уединенной точке пространства-времени можно производить операции сложения, умножения на скаляр и скалярного произведения. Такие векторы образуют векторное пространство Минковского, называемое касательным пространством в точке над кольцом скаляров в этой точке с делением. Над векторными полями можно производить точно такие же операции. Например, при сложении двух векторных полей мы, чтобы получить результирующее векторное поле, просто суммируем два вектора в каждой точке. При умножении на скаляр, когда векторное поле нужно умножить на скалярное, значение скалярного поля в каждой точке умножается на вектор в этой точке. Знакомые нам законы (1.1.1), справедливые в векторном пространстве, остаются в силе для векторных и скалярных полей. Здесь возникает только одно новое свойство: скалярные поля образуют лишь коммутативное кольцо с единицей, но не кольцо с делением. (Например, если и — два бесконечно дифференцируемых скалярных поля, то

может оказаться, что не равно нулю только в области, где всюду равно нулю. Тогда но ни ни не должны быть равны нулю, так что существуют делители нуля. Во всяком случае ясно, что если в любой точке, то существовать не может.) В силу этого свойства говорят, что векторные поля образуют не векторное пространство, а систему, которую называют модулем над кольцом скалярных полей [89, 112].

Аналогично, обобщая концепцию спинового пространства — двумерного векторного пространства над кольцом комплексных чисел с делением — мы вводим понятие модуля спин-векторных полей. Тогда скаляры должны быть комплексными скалярными полями, удовлетворяющими определенным требованиям гладкости. Спин-векторным полем определяется в каждой точке пространства-времени изотропный флаг. Изотропный флаг в точке — это некоторая структура в касательном пространстве в этой точке. Такое касательное пространство является векторным пространством Минковского мировых векторов в данной точке. Кроме того, там должны выполняться определенные условия гладкости, чтобы изотропный флаг мог изменяться от точки к точке. И наконец, должны удовлетворяться определенные топологические требования, вытекающие из глобальной непротиворечивости понятия спинорного объекта. Все это будет подразумеваться в аксиомах той конкретной системы, которую мы собираемся построить. По существу наше первое обобщение включает в себя переход от векторного пространства над кольцом с делением к модулю над кольцом.

Второе обобщение содержит переход от «унивалентных» объектов (спин-векторов) к «поливалентным» объектам (спинорам). Это обобщение строится подобно тому, как от понятия обычного вектора переходят к понятию тензора. Процедура построения совершенно одинакова вне зависимости от того, исходим ли мы из (спин-) векторов в одной точке, или из (спин-) векторных полей. В общем мы не будем сильно вдаваться в подробности по поводу типа системы, с которой имеем дело. Мы сможем значительно развить второе обобщение еще до того как начнем вникать в подробности первого.

1
Оглавление
email@scask.ru