Простота кососимметричных тензоров

В заключении данного параграфа укажем один полезный результат для антисимметричных тензоров в произвольном -мерном векторном пространстве который устанавливает свойства, аналогичные свойствам симметричных объектов.

Предложение

(Тензор представимый в виде такого кососимметричного произведения векторов, называется простым.) Необходимость этого условия показывается непосредственно: достаточно выразить второй множитель через а затем учесть, что каждое слагаемое в сумме должно обращаться в нуль вследствие равенства Чтобы установить достаточность, заметим, во-первых, что указанное условие можно переписать в виде

В справедливости этого соотношения легко убедиться, выполнив антисимметризацию в первоначальном выражении явно и отделив слагаемые, в которых индекс в содержится в первом сомножителе Свертка обеих частей равенства (3.5.31) с приводит к обращению в нуль левой его части, откуда следует, что -индексный тензор

удовлетворяет тому же условию, что и сам тензор Теперь предположим, что достаточность условия (3.5.30) для -индексных тензоров уже доказана (в случае доказательство тривиально); тогда мы заключаем, что это справедливо и для -индексных тензоров. Таким образом, по предположению, при имеем

для некоторых Теперь выберем и так, чтобы выполнялось условие

и свернем обе части равенства (3.5.31) с Это дает требуемое соотношение

где

Таким образом, мы получаем доказательство по индукции.

Легко видеть, что условие, сформулированное в предложении (3.5.30), эквивалентно равенству

где тензор (который имеет индексов, если тензор имел индексов) определяется так же, как в (3.4.30) и (3.4.21), соотношением

[В -мерном пространстве «альтернируюший> тензор имеет индексов, отличен от нуля и кососимметричен, см. формулу (2.3.4).] Поскольку равенство (3.5.32) симметрично относительно и (с точностью до несущественного расположения индексов), мы имеем следующее предложение:

Предложение

Тензор является простым при том и только при том условии, что простым является дуальный ему тензор

Соотношения (3.5.30) — (3.5.34) справедливы в пространстве измерений для кососимметричиых тензоров с произвольным числом индексов Но для нас особенно важным будет случай бивектора в четырехмерном пространстве. В этом случае можно сформулировать дополнительные критерии простоты.

Предложение

В четырехмерном пространстве бивектор будет простым тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

Доказательство. Легко видеть, что

для некоторого скаляра и антисимметричного единичного тензора Первое из этих тождеств совместно с предложением (3.5.30) позволяет доказать утверждение I. Сворачивая второе тождество в (3.5.36) с при , мы получаем условие II. Его можно проверить и непосредственно, переходя к специальной системе координат. Последнее условие III получается с помощью хорошо известной теоремы, утверждающей, что определитель кососимметричной матрицы есть полный квадрат. Действительно, в нашем случае

Следовательно, условие III эквивалентно условию II, чем и завершается доказательство нашего предложения.

Отметим, что предложение (3.5.30) справедливо только для тензоров в фиксированной точке пространства и нарушается в случае тензорных полей. Замечательно простым примером может служить бивектор в евклидовом пространстве, который в декартовой системе координат имеет компоненты.

Он дуален радиус-вектору и является простым в каждой точке в силу предложения (3.5.34), поскольку объект очевидно, прост. Но из равенства (3.5.32) следует, что . Тогда из следовало бы, что т. е. векторы должны быть ортогональны вектору Это означает, что на сфере постоянного радиуса задают нигде не обращающиеся в нуль касательные векторные поля. Но из топологии (теорема о «неподвижной точке») мы знаем, что такие поля не существуют. Отсюда явствует, что теорема нарушается даже в произвольно малой окрестности начала координат.

Следует помнить, что и все другие результаты, перечисленные в данном параграфе, могут нарушаться при переходе от тензоров в точке к тензорным полям.