Голоморфные координаты

Операторы естественно возникают в комплексном анализе. Предположим, что — локальная голоморфная координата на иначе говоря, 1 есть комплексная координата, определенная на открытом подмножестве и такая, что в любой точке поворот -формы в касательном пространстве на прямой угол в положительном направлении дает Можно сказать еще и так, что (рис. 4.2) линии ортогональны линиям в каждой точке и направление увеличения получается положительным поворотом направления, в котором возрастает Наиболее известна голоморфная координата на плоскости Арганда. Напомним также, что, согласно теории конформного отображения, любая голоморфная функция такой координаты тоже является голоморфной координатой на этой плоскости. Если риманова сфера ориентирована так, что нормаль к ней направлена наружу, то величина, комплексно-сопряженная к в формуле (1.2.6), дает пример голоморфной координаты на будет голоморфной координатой, если нормаль направлена внутрь (рис. 1.3). В случае «небесной сферы» определенной в гл. 1, § 2, справедливо обратное соответствие.

Определение голоморфной координаты на эквивалентно утверждению, что отличается лишь комплексным множителем от дифференциальной формы (ограниченной на в каждой точке подмножества поскольку из (3.1.21) получаем

Рис. 4.2. Голоморфная координата на поверхности

а поворот на прямой угол в положительном направлении дает Далее, на поверхности имеет компоненты Если они пропорциональны та, то выполняется условие Принимая, что комплексная координата имеет тип и вводя термин «антиголоморфная координата» для величины, комплексно-сопряженной голоморфной координате, мы имеем

Предложение

есть голоморфная (антиголоморфная) координата на поверхности в том и только том случае, если

Отметим, что обращение ориентации поверхности приводит к взаимной перестановке голоморфных и антиголоморфных координат. Отметим также, что из (4.14.25) прямо следует

Предложение

Любая голоморфная функция голоморфной (анти-голоморфной) координаты на есть также голоморфная (антиголоморфная) координата на .

Имеется еще один способ ввести понятие голоморфной координаты. Пусть — координаты на , тогда координата будет голоморфной, если оператор 3 при действии на скаляры типа пропорционален оператору

где — величина типа есть, конечно, просто Обозначая через и соответственно, мы имеем (линейные отображения векторов)

откуда на

Напомним, что есть индуцированный метрический тензор на Для этой метрики можно пользоваться обычным «дифференциальным» обозначением тогда, понимая под стоящими рядом дифференциалами симметричные тензорные произведения форм, можно на основании формулы (4.14.29) переписать (4.14.6) в виде

где — скаляр, определяемый равенством [формула (4.14.27)]

Отметим, что — величина типа Обе величины Р и «голоморфны» в том смысле, что

Эти равенства следуют из (4.14.31); действительно,

поскольку коммутатор (4.14.1) равен нулю. Имеем также

Мы увидим в формуле (4.15.116) ниже, что конкретные представления величин Р и не обязательно «выглядят» голоморфными в обычном смысле слова.

Можно использовать Р (или S) для того, чтобы некоторый —скаляр превратить в -скаляр, а затем на основании равенств (4.14.32) и выражения, сопряженного выражению (4.14.27), получить формулу для

Выполнив аналогичную процедуру для , после комплексного сопряжения получим

Вскоре мы увидим, что формулы (4.14.33) и (4.14.34) находят применение при выводе явных представлений.

Попутно отметим, что второе из равенств (4.14.31) и выражение (4.14.34) при подстановке в (4.14.19) после простых выкладок дают следующее выражение для гауссовой кривизны поверхности

Заметим, что в эту формулу входит только модуль величины Р. Это не удивительно, поскольку величина Р имеет ненулевой спиновый вес (и нулевой бюстовый вес) и при масштабных преобразованиях изменяется лишь ее аргумент (но не модуль). В явных представлениях обычно удобно выбирать та так, чтобы величина Р была положительна. Записывая мы видим, что это выполняется при условиях

(см. скан)

Это приводит к некоторым упрощениям в формулах (4.14.33) — (4.14.35), но выводит нас за рамки модифицированного метода спиновых коэффициентов, поскольку теперь определяется выбором .