Связности в расслоенных пространствах

Чтобы придать точный смысл понятию локального постоянства сечения, необходимо ввести «связность» в расслоении . Прежде всего заметим, что оператор градиента действующий на скалярные функции на многообразии всегда существует (по определению многообразия). Точно так же, как его можно расширить на пространство касательных векторов (тензоров и

спиноров), что приводит к понятию «связности в многообразии», возможно расширение и на другие типы сечений расслоения (и соответствующие им тензоры), приводящее к понятию «связности в расслоении». Если определены оба расширения одновременно, то такой оператор можно применять и к объектам со смешанными тензорными, спинорными и абстрактными индексами сечений. Рассмотрим кривую у в с касательным векторным полем X. Если на многообразии задана связность, то касательное векторное поле 1 называется постоянным (или параллельно-переносимым) вдоль если действие на него оператора дает нуль. Точно так же сечение будет локально-постоянным, если действие на него оператора V дает нуль. Как правило, оператор действующий на сечения пространства будет некоммутативным (если только базовое пространство не одномерно), что приводит к понятию кривизны. Тогда неинтегрируемость, иллюстрируемая растяжением полосы на глобальном уровне, может проявиться также на инфинитезимальном уровне при обходе по малой петле в базовом пространстве. Допустим, что задан оператор градиента тогда связность в расслоении расширяет его область определения до сечений в соответствии с требованиями

Это определение далее обычным образом можно расширить на тензоры в сечениях, т. е. на объекты, характеризующиеся несколькими заглавными греческими индексами. Оператор V по-прежнему определяется как Тогда можно ввести оператор дай, определяемый соотношением

[формула (4.3.32)], поскольку левая часть этого равенства билинейна по Тем самым мы определяем кривизну в расслоении

[формула (4.2.30)]. Если кручение отсутствует (как в случаях, представляющих для нас наибольший интерес), то мы имеем также

так что

О других свойствах кривизны в расслоении, включая ее описание в спинорном формализме, речь пойдет в конце § 5. Заметим, что Каьиф сводится к тензору Римана если — касательное расслоение и используется связность Кристоффеля в нем.

Об использовании формализма абстрактных индексов в контексте векторных расслоений можно было бы сказать гораздо больше. Здесь мы ограничимся лишь несколькими замечаниями. Прежде всего отметим, что, как и в рассуждениях гл. 4, § 2, переход от одной связности в расслоении к другой связности описывается элементом причем

и имеет место формула, аналогичная формуле (4.2.51), для изменения кривизны в расслоении. Зависимость общих выражений от выбора связности в расслоении можно исследовать с помощью соотношения (5.4.24) и его обобщений, аналогичных формуле (4.2.48).

Связность в расслоении существенна также, если рассматриваются поля на самом пространстве (что иногда весьма целесообразно), даже в простейшем случае скалярного поля на Действительно, пусть — такое скалярное поле. Тогда есть функция не только точек но и «координат в слое» Тогда внешняя производная (градиент) функций будет состоять из двух частей, а именно

Первая вычисляется в фиксированной точке Р при варьировании координат , что представляется естественной производной внутри каждого векторного слоя, тогда как вторая рассматривается при «постоянном» уф. Вторая величина имеет инвариантный смысл, только если определена связность в расслоении. Если же этого не сделать, то невозможно инвариантным образом расщепить на две части типа (5.4.25) (хотя первая часть сама по себе инвариантна всегда). Аналогичные, но более сложные замечания можно сделать применительно к высшим производным. Заметим, что если функция аналитична в окрестности нулевого сечения , то ее можно представить в виде

где

так что функция может быть представлена в виде бесконечной последовательности тензоров в расслоении . Тогда мы найдем, что вклады типа (5.4.25) будут иметь вид соответственно.