Комплексное сопряжение

Спинорная алгебра, которой мы занимались до сих пор, сама по себе полна, но она не совсем удовлетворительна с точки зрения физики. Мы хотим, чтобы в нашу спинорную алгебру была включена алгебра мировых векторов и мировых тензоров. Это невозможно в рамках развитой теории. Основную причину такого положения вещей можно усмотреть в формуле (1.2.15) для компонент мирового вектора, выраженных через компоненты спин-вектора: в нее должны входить комплексно сопряженные компоненты спин-вектора. Таким образом, для включения мировых векторов наша спинорная алгебра должна содержать операцию комплексного сопряжения. Мы должны располагать возможностью применять эту операцию к произвольному элементу модуля Однако результатом такого применения не может быть другой элемент того же модуля. Действительно, если бы это было так, то элементы модуля должны были бы обладать свойством действительности. Тогда одни элементы модуля были бы действительными, а другие — чисто мнимыми (например, спин-вектор, равный своему комплексно сопряженному со знаком плюс или минус). В этом случае разные элементы

модуля были бы не равноправны, вследствие чего лоренц-ковариантность алгебраических операций оказалась бы нарушенной. (Мы видели в гл. 1, § 4, что два произвольных спин-вектора в одной точке могут быть переведены один в другой путем преобразования Лоренца.) Таким образом, объект, комплексно-сопряженный элементу должен быть объектом нового типа. Обозначим операцию комплексного сопряжения чертой и запишем

для спинора, комплексно-сопряженного спинору . Метка А может рассматриваться как комплексно-сопряженная метке А. Следовательно, в дополнение к множеству меток 3 (2.5.1) мы имеем другое множество 3 меток, комплексно-сопряженных меткам множества 3,

Множество рассматривается как комплексно-сопряженное множеству Операции сложения и умножения на скаляр в множестве определяются требованием

где — величины, комплексно-сопряженные величинам в обычном смысле. Нетрудно убедиться [формула (2.2.3)], что множество будет в этом случае также -модулем (поскольку алгебра комплексных скаляров операцией комплексного сопряжения переводится сама в себя), и модуль будет антиизоморфным модулю причем указанный антиизоморфизм выражается соотношением (2.5.28). Как и в (2.5.26), обратное отображение из также обозначается чертой над всем символом; таким образом, мы имеем

Воспользуемся обоими -модулями для того, чтобы образовать нашу спинорную систему способом, указанным в конце § 2. В дополнение к -модулям каждый из которых канонически изоморфен модулю мы будем располагать -модулями

каждый из которых канонически изоморфен модулю и канонически антиизоморфен модулю . При любом элемент, комплексно-сопряженный элементу есть , т. е. комплексное сопряжение соответствующим образом коммутирует с перестановкой индексов. Всякое множество будет иметь дуальный -модуль Каноническим антиизоморфизмом между индуцируется канонический антиизоморфизм между , при котором элемент отвечает элементу определенному соотношением

причем черта в правой части означает обычное комплексное сопряжение скаляров. Имеем

[в силу формул (2.1.28) и (2.1.29)] как выражение указанного антиизоморфизма.

Общий спинор валентности определим как -полилинейное отображение или, что то же самое, как классы эквивалентности формальных сумм и формальных произведений. Мы можем, повторив рассуждения § 4 с небольшими усложнениями в обозначениях, установить, что свойство модуля быть вполне рефлексивным сохраняется не только для модуля но и для обоих модулей взятых вместе. Подмножества множества и подмножества множества (соответствующих кардинальных чисел все отделены друг от друга. (Множества очевидно, во всех случаях отделены друг от друга.) Одна и та же буква может фигурировать и в нештрихованном, и в штрихованном варианте. К примеру, допустимым является спинор (не содержащий никакой свертки). Множество спиноров обозначается

Как и в § 2, определены следующие четыре операции: сложение, тензорное произведение, замена индексов и свертка. Но теперь у нас есть и новая операция, а именно комплексное сопряжение, индуцируемое антиизоморфизмом между Чтобы найти спинор, комплексно-сопряженный спинору используя определение полилинейного отображения, возьмем величину, комплексно-сопряженную результату отображения, и заменим каждое из множеств соответствующем комплексно-сопряженным множеством

Ясно, что вписанная процедура определит нам полилинейное отображение

где длинной чертой обозначено обычное комплексное сопряжение скаляра.

Подведем итог сказанному о различных спинорных операциях и их основных свойствах. Сложение приписывает структуру абелевой группы всякому множеству спиноров (скажем, ). Тензорное произведение есть отображение из для каждой пары спинорных множеств где не содержат общих индексных меток (метки все рассматриваются как различные, а метки А и А или В и В и т. д. — как дуальные). Оно коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Частным случаем тензорного произведения, когда одно из спинорных множеств есть является умножение на скаляр. Эта последняя операция вместе с операцией сложения приписывает структуру -модуля всякому спинорному множеству Замена индексов индуцируется в том случае, когда к двум наборам меток применяются какие-либо отдельные перестановки. Таким образом, мы можем заменить один набор нештрихованных меток другим набором нештрихованных меток и один набор штрихованных меток другим набором штрихованных меток, но мы не можем заменить штрихованные метки нештрихованными и нештрихованные — штрихованными. Справедливость любого уравнения не нарушается, если всюду в этом уравнении совершена операция замены индексов. Операция I у I свертки отображает каждое множество — произвольная собирательная индексная метка, не включающая X или У). Далее, -свертка, скажем, величины записывается как или или где — произвольная нештрихованная метка, не содержащаяся в I -свертка выражения есть а -свертка выражения есть (т. е. свертка коммутирует со сложением и обычным путем с тензорным произведением); -свертка

выражения равна -свертке выражения и записывается как (свертки коммутируют с другими свертками); -свертка выражения приводит к тому же самому результату, что и операция замены индекса примененная к - свертка выражения приводит к тому же самому результату, что и спинора е. свертка соответствующим образом коммутирует с операцией замены индекса). Существует также операция -свертки, удовлетворяющая соответствующим правилам.

Кроме того, -свертка спинора равна -свертке спинора операции записываются как или Наконец, комплексное сопряжение представляет собой отображение из каждого множества в соответствующее множествопричем если то Величина комплексно-сопряженная величине записывается как и в случае скаляров соответствует обычному определению комплексного сопряжения. Когда операция комплексного сопряжения применяется дважды, исходный спинор восстанавливается: (инволютивное свойство). Имеем далее, есть результат замены индекса выполненной в наконец, (т. е. комплексное сопряжение коммутирует со сложением, тензорным произведением и соответствующим образом с заменой индекса и сверткой).

Поскольку замена штрихованных индексов нештрихованными (и наоборот) не допустима, относительный порядок следования штрихованных и нештрихованных индексов внутри символа одного спинора не имеет значения. Иногда бывает удобно, пользуясь этим, перемещать штрихованные и нештрихованные индексы без изменения смысла всего символа. Такая операция может быть произведена независимо от того, находятся индексы в верхнем или в нижнем положении. Следовательно, если один из индексов штрихованный, а другой — нештрихованный, то допустимо располагать эти индексы прямо один над другим.

К примеру,

Для элемента существует комплексно-сопряженный ему элемент Принято опускать черту и записывать этот элемент просто как (Мы можем не считать это как нарушение принятых обозначений. Символ по-прежнему правильно обозначает величину Мы просто ввели новый символ на что мы всегда имеем право при условии, что это не приводит к разночтениям — который тоже означает Изоморфизм между осуществляемый элементом индуцирует теперь через операцию комплексного сопряжения изоморфизм между осуществляемый элементом . Фактически это означает, что вдв вместе со своим обратным может использоваться как оператор опускания и поднимания штрихованных индексов. Соответствующие формулы во всем идентичны формулам кроме того, что содержащиеся в них индексы — штрихованные. Таким образом, в частности,

и (свойство «пилы»)

Кроме того, справедливы все соотношения, комплексно-сопряженные соотношениям что приводит к соответствующим вариантам формул с штрихованными индексами.

Правило, позволяющее определить, является или не является символ с индексами допустимым спинорным символом, такое же, как и в том случае, когда имеется только один исходный модуль, а именно: верхние индексы должны быть различными мы уже подчеркивали ранее, метки А, А, В, В все считаются различными) и нижние индексы должны быть различными. Символ представляет элемент того спинорного множества для которого последовательности верхних и нижних индексов те же самые, что и для но в этих последовательностях дважды повторяющиеся (свернутые) верхние и нижние индексы опущены.